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【优化方案】2012高中数学


1.2 应用举例

1.2.1 应用举例

学习目标 运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测
量和几何计算有关的实际问题.

1. 2.1 应 用 举 例

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

/>
温故夯基 1.正弦定理

2.余弦定理
2+c2-2accos B ; b2+c2-2bccos A ;b2=a a2=________________ ________________

c2=________________. a2+b2-2abcos C

知新盖能 1.仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角.目标视线在水平视线_____ 上方 时叫仰 下方 时叫俯角,如图 角,目标视线在水平视线_____

所示.

2.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如B点的方位角为α(如图1所示). 3.方位角的其他表示——方向角 (1)正南方向:指从原点O出发的经过目标的射线 与正南的方向线重合,即目标在正南的方向线

上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方
向.

(2)东南方向:指经过目标的射线是正东和正南的 夹角平分线(如图2所示).

课堂互动讲练

考点突破 测量距离问题 测量不可到达的两点间的距离时,若是其中一点 可以到达,利用一个三角形即可解决,一般用正 弦定理;若是两点均不可到达,则需要用两个三 角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到.

例1 如图, 某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏

东 75° ,距离为 12 6 n mile,在 A 处看灯塔 C 在 货轮的北偏西 30° ,距离为 8 3 n mile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在北偏东 120° ,求 A 与 D 间的距离.

【思路点拨】 要求 AD 的长,在△ABD 中,AB =12 6,B=45° ,可由正弦定理求解.

【解】 在△ABD 中, ∠ADB=60° ,∠DAB=75° , ∴B=45° . 2 12 6× 2 ABsin B ∴AD= = =24(n mile). sin∠ADB 3 2 即 A 与 D 间的距离为 24 n mile.

【名师点评】

测量两个不可到达的点之间的距

离问题,一般是把求距离问题转化为求三角形的 边长问题.首先是明确题意,根据条件和图形特 点寻找可解的三角形,然后利用正弦定理或余弦 定理求解.

互动探究

在本题条件不变的情况下,求灯塔C

与D间的距离.

解: 在△ADC 中, 由余弦定理得 CD2=AD2+AC2 -2AD· ACcos 30° , 代入数据,解得 CD=8 3(n mile). 即灯塔 C 与 D 间的距离为 8 3 n mile.

测量高度问题

测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角
形,依条件结合正弦定理和余弦定理来解.解决

测量高度的问题时,常出现仰角与俯角的问题,
要清楚它们的区别及联系.测量底部不能到达的

建筑物的高度问题,一般是转化为直角三角形模
型,但在某些情况下,仍需根据正、余弦定理解

决.

例2 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与

塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得
∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔

顶A的仰角为θ,求塔高AB.

【思路点拨】

求∠CBD → 利用正弦定理求BC →

在△ABC中求AB

【解】 在△ BCD 中,∠ BCD= α,∠ BDC =β, ∴∠CBD=180° -(α+β), BC s ∴ = , sin β sin[180° -?α+β?] BC s 即 = . sin β sin?α+β? sin β ∴BC= · s. sin?α+β?

在△ABC 中,由于∠ABC=90° , AB ∴BC=tan θ, sin β· tan θ ∴AB=BC· tanθ= · s. sin?α+β?
【名师点评】 测量高度,一定要抽象出纯粹的数

学图形,然后利用正、余弦定理或勾股定理求解.

测量角度问题 解决此类问题,首先应明确各个角的含义,然后 分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正 确的示意图,将图形中的已知量与未知量之间的 关系转化为三角形的边与角的关系,运用正、余 弦定理求解.

发出 例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击, 呼叫信号,如图,我海军护航舰在 A 处获悉后,立 即测出该货船在方位角为 45° ,距离为 10 海里的 C 处, 并测得货船正沿方位角为 105° 的方向, 以 10 海 里/小时的速度向前行驶, 我海军护航舰立即以 10 3 海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近 货船所需的时间.

【思路点拨】

根据示意图,明确货船和护航舰

大体方向,用时间t把AB、CB表示出来,利用余
弦定理求t.

【解】

设所需时间为 t 小时,

则 AB=10 3t,CB=10t, 在△ABC 中,根据余弦定理,则有 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 120° , 可得(10 3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120° , 1 整理得 2t -t-1=0, 解得 t=1 或 t=- (舍去). 2
2

即护航舰需 1 小时靠近货船.

此时 AB=10 3,BC=10, 在△ABC 中,由正弦定理得 BC AB = , sin 120° sin∠CAB 3 10× 2 1 BCsin 120° 所以 sin∠CAB= = = , AB 10 3 2 所以∠CAB=30° , 所以护航舰航行的方位角为 75° .

【名师点评】

求角问题常涉及解三角形的知识,

解题时应注意画出示意图,分析在△ABC中,

∠ACB已知,边AC已知,另两边未知,但它们都
是船航行的距离,由于船速已知,所以两边均与

时间t有关,据余弦定理,列出关于t的方程,问
题得到解决.

变式训练

某海上养殖基地 A,接到气象部门预

报, 位于基地南偏东 60° 相距 20( 3+1)海里的海 面上有一台风中心,影响半径为 20 海里,正以 每小时 10 2 海里的速度沿某一方向匀速直线前 进, 预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3+ 1 小时后开始持续影响基地 2 小时.求台风移动 的方向.

解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影 响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台 风中心为D,则B、C、D在一直线上,且AD=20、 AC=20.

由题意 AB=20( 3+1),DC=20 2, BC= ( 3+ 1)· 10 2. 在△ ADC 中,∵ DC2= AD2+ AC2,∴∠DAC=90° ,∠ADC=45° . 在△ABC 中, AC2+AB2-BC2 3 由余弦定理得 cos∠BAC= = . 2AC· AB 2 ∴∠BAC=30° ,又∵B 位于 A 南偏东 60° , 60° +30° +90° =180° ,∴D 位于 A 的正北方向, 又∵∠ADC=45° , ∴台风移动的方向为向量 C→ D 的方向, 即北偏西 45° 方向.

方法感悟
1.解与三角形有关的应用题的基本思路和步骤 (1)解三角形应用题的基本思路

(2)解三角形应用题的步骤 ①准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理 解应用题中的有关名词和术语; ②画出示意图,并将已知条件在图形中标出;

③分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形, 通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解,并 作答. 2.解三角形应用题常见的情况 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部 集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理 求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及 两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形, 先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形 中的解.有时需设出未知量,从几个三角形中列 出方程,解方程得出所要求的解.


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