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《等比数列的前n项和》教学设计


《等比数列的前 n 项和》教学设计
一、设计思想: 1、设计理念 本课的教学设计基于在新课程理念引领下,充分利用高速信息化,强调以学生为主体的 高效课堂教学模式,激发学生学习的热情。体现让每一个学生都能获得知识和能力的平等性 原则。坚持面向全体学生,努力设计适合全体学生的数学教育的教学理念。教学中强调“培 养学生情感、态度与价值观”的重要性,注重引导学生主动地进行探索,从而帮助学生树立 正确的数学观,但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调“活动”的内化,即在 头脑中实现必要的重构或认知结构的重组,从而引起真正的数学思维,提高思维的效益。 2、设计背景 传统的数学教学单调枯燥,脱离生活和学生实际,不利于学生个性和能力的发展。在新 课程标准的理念下,在高信息化时代,我们要突破传统,改变现状,创新教学方式,激发学 生学习的兴趣,发展学生数学素质,既注重基础知识的巩固,更要注重学生思维和能力的发 展,既要创新又要保证其科学有效,使学生在做学习的过程中体验快乐、形成能力、学会合 作、体验自主。 3、教材的地位与作用 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广 泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化 归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养. 二、学习目标: ⑴知识与技能 掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 ⑵过程与方法 通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类 讨论等数学思想,体会错位相减法以及分类讨论的思想方法,培养学生观察、比较、抽象、 概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. ⑶情感、态度与价值观 通过对等比数列前 n 项和的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用 价值,发展数学的理性思维。 三、教学重点: 掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。

四、教学难点: 错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 五、教学设想: 本节课采用合作探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生 独立自主和合作讨论交流为前提,以探究“等比数列前 n 项和”公式为活动内容,为学生提 供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难 释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对“等比数列前 n 项和”的深入探讨。让学生在 “活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。设计思路如 下: 六、教学过程 (一)创设问题情景 课前给出复习:等比数列的定义及性质 课首给出引例:“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了 下来,但提出了如下条件:在 30 天中,富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元, 以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后 每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又 想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能 否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注意力,使学生马上进入到研究者的角色中 来!] (二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: 穷人 30 天借到的钱: 穷人需要还的钱: ? (万元)

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求 ?的问题让学生探究,小组讨论 ①若用公比 2 乘以上面等式的两边,得到 ②(注意:这一步是关键,要让学生提供讨论探究得出, 教师可适当参与引导)

若②式减去①式,可以消去相同的项,得到: (分) ≈1073(万元) > 465(万元)

答案:穷人不能向富人借钱 (三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式?(学生很自然地模仿以上方法推导)

(1)-(2)有 当q 时,

根据等比数列的通向公式 当 时,

又得到

所 以

推导等比数列前 n 项和

的公式,教师引导讲完课本上的推导方法后,

教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手发言)

学生 A:



。 学生 B:

[设计意图](特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路! 教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会或创设问题情景调动了学 生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥了组织者、推进者和指导者的作用, 而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者!让学生享受成功的喜悦!) (四)数学应用 例1 求等比数列 1/2,1/4,1/8??的 (1)前 8 项的和; (2)第四项到第八项的和 解 : (1)

(2)法一:

法二:

=

=

-

=

例 2:在等比数列 (1)已知 (2)已知

中, 求 ,求

例 3:在等比数列

中,



[例 1 教师板演示范,强调解题的规范,第二问要培养学生的一题多解的能力。例 2、例 3 学 生分析解法,学生不会时要分析出不会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。] (五)总结、评估、 (1)课堂小结 等差数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] (2)知识评估 1)根据下列条件求 ① 等比数列

② 2)在等比数列 ①已知 ②已知 3)求数列 中, ,求 和 求 和 的前 n 项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。然后 老师给出评价]

(六)布置作业 1、根据下列条件,求等比数列 ①: 的前 n 项和 ②:

③: 2、在等比数列 ①:已知 ②:已知 3、在等比数列 4、求和: 中,已知 中, ,求 ,求 和

④:

,求

[作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了 作业。] (七)板书设计 等比数列的前 n 项和 公式推导 例题 练习

注: (七)课后反思 本节课授课对象为普通高中宏志班班的学生,学习基础相对较好。同时,考虑到这是一节探 究课,授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题 与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明(1)创设问题情 景、布疑激趣(2)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型(3)探寻特例、提出猜想 (4)数学应用(5)知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提

下,在教师预设的思路中,一步步发现了公式并推导了公式,感受到了创造的快乐,激发了 学习数学的爱好,教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。 (一)、通过创设教学情境,激活了学生思维。从认知的角度看,情境可视为一种信息载 体,一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下特点: 从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出:学生的数学学习内容应当是现实的、有 趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看,青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此, 本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征,精心设计教学情境,使学生在观察、实验、猜想、 验证、推理等活动中,逐步形成创新意识。 (二)、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”,新课标提倡教师创造 性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作,再到证实方法的发现,都对教 材作了一定的调整和拓展,使其更符合学生的思维习惯和认知水平,使学生在知识的形成过 程、发展过程中展开思维,发展了学生的能力。 (四)我在作业布置时曾做过一个新尝试:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出 不会做的症结所在,就算完成了作业。这种新策略有以下优点: 对学生而言,完成作业是成功,个别题目没有完成,但明确了哪儿卡壳也是成功。学生 在做作业时遇到解不开的题,只要能分析出需解决的某步推理,或由题设完成某数据的计 算,该题即可或解。而某步推理或某数据的计算,恰恰是疑点,即所说的“症结”,能够分 析出“症结”,知道哪儿卡壳,是需要一定数学素养的,这对学生来说,需要一个逐渐养成 的过程。在这种宽松的气愤中,学生大都能静下心来,抱着研究的心态,去分析症结所在, 甚至在分析的过程中,使问题或解而得到意外的收获。 一些遗憾:由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入,有些学生往往以一种观赏者的身 份参与其中,主动探究意识不强,思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深 入,这种状况会逐步改善。 一些感悟:轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地,是合作交流、探索创新的主阵地,是思 想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台!


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