kl800.com省心范文网

第2讲 数形结合思想课件 文 新人教A版


第2讲

数形结合思想

1.(2013·浙江 ,文 7)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b= 0 C.a>0,2a+b= 0 D.a<0,2a+b=0

解析:由 f(0)=f(4)知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 对称轴为 x=2,即
- =2.所以 2

4a+b=0,又 f(0)>f(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)

在 (-∞,2]上单调递减 ,则抛物线开口方向朝上,知 a>0,故选 A.

2.(2013·福建,文 12)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大 值点,以下结论一定正确的是( D ) A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 解析:由函数极大值的概念知 A 错误 ;因为函数 f(x)的图象与 f(-x)
的图象关于 y 轴对称,所以 -x0 是 f(-x)的极大值点 .B 选项错误;因为 f(x) 的图象与-f(x)的图象关于 x 轴对称 ,所以 x0 是 -f(x)的极小值点.故 C 选项错误 ;因为 f(x)的图象与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,所以 -x0 是 -f(-x)的极小值点.故 D 正确 .

3.(2013·安徽,文 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x 2. 若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数 为( A ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由 f'(x)=3x2+2ax+b=0,得 x=x1 或 x=x2,

即 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根为 f(x)=x1 或 f(x)=x2 的解 ,由题可知 f(x)的草图为 :

由数形结合及 x1<x2 可知满足 f(x)=x1 的解有 2 个 ,满足 f(x)=x2 的解仅有 1 个 ,因此 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实数根个数为 3.

4.(2013·湖南,文 8)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足 |c-a-b|=1,则|c|的最大值为( C ) A. 2-1 B. 2 C. 2+1 D. 2+2

解析:可利用特殊值法求解 .可令 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).

由 |c-a-b|=1,得 (-1 )2 + (y-1)2 =1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1. |c|即为 2 + 2 ,可看成 ☉M 上的点到原点的距离, ∴|c|max=|OM|+1= 2+1.故选 C.

数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方 程根的情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等.对这类 内容的选择题、填空题,数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数 形结合的重点是研究“以形助数 ”,但“以数定形”在今后的高考中将 会有所加强,应引起重视,复习中应提高用数形结合思想解题的意识, 画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置 关系.

热点一

与方程、不等式及函数有关的问题

【例 1】 函数 f(x)= -cos x 在[0,+∞)内( B ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点

解析:令 f(x)=0,得 =cos x, ∵x≥0, ∴在同一坐标系内画出两个函数 y= 与 y=cos x 的图象如图 所示 ,由图象知,两个函数只有一个交点,从而方程 =cos x 只有一 个解 .∴函数 f(x)只有一个零点 .

规律方法
用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、 三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思 想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉 时 ,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中 作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.

拓展训练 1 已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇
函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x∈ 在区间[0, 6]上的零点个数是
3 0, 2

时,f(x)=sin πx,则函数 f(x)

9

.

解析:由 f(x)是定义域为 R 的奇函数 ,可知 f(0)=0.因为 f(x+3)=f(x), 所以 f(3)=0.令 x=- ,得 f
3 2 3 2

=f -

3 2

=-f

3 2

,所以 f

3 2

=0.又当 x∈ 0,

3 2

时 ,f(x)=sin πx,所以 f(1)=0,f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1)=0,则在区间 [0,3]上 的零点有 5 个 .由周期性可知,在区间 (3,6]上有 4 个零点 ,故在区间 [0,6] 上的零点个数是 9.

热点二

与函数的最值及值域有关的问题

2 + 2 ≤ 4, 【例 2】 已知实数 x,y 满足不等式组 ≥ 0,
+3 (1)求函数 z= 的值域; +1

(2)求 w= ( + 1)2 + (y + 3)2 的最值.
2 + 2 ≤ 4, 分析:此题可转化成过点(-1,-3)与不等式组 表示的 ≥ 0 区域内的点的连线的斜率与距离,再利用数形结合求解.

解:由解析几何知识可知 ,所给的不等式组表示圆 x2+y2=4 的右 半圆域 (含边界),

+3 z= 可改写为 y+3=z(x+1),把 z 看作参数 ,则此方程表示过定点 +1

P(-1,-3),斜率为 z 的直线系 .

(1)所求问题的几何意义是 :求过半圆域 x2+y2≤4(x≥0)内或边界 上任一点与点 P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值 . 由图显见 ,过点 P 和点 A(0,2)的直线斜率最大 ,zmax= 过点 P 向半圆作切线 ,切线的斜率最小 . 设切点为 B(a,b),则过 B 点的切线方程为 ax+by=4. 2 + 2 = 4, 又 B 在半圆周上 ,P 在切线上 ,则有 --3 = 4. 又 a>0,解得 =
-2+3 6 5 -6- 6 5 2-(- 3) =5. 0-(- 1)

=

, 2 因此 zmin=
2 6-3 3

, ,5 .

6-3 . 3

综上可知函数的值域为

(2)所求问题的几何意义是:求半圆域 x2+y2≤4(x≥0)内或边界上 任一点到 P(-1,-3)的距离的最大值与最小值,由数形结合可知 wmax=|PO|+r= 10+2,wmin=|PC|= 12 + (-2 + 3)2 = 2 , 即最大值为 10+2,最小值为 2.

规律方法
- 表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)连线的斜 -

率 , (- )2 + (b-n)2 表示这两点间的距离,解决此类问题时,一定要 注意观察 ,联想数与形的对应类型,就能自然地运用数形结合的思想 方法.

拓展训练 2 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的
最小值.设 f(x)=min{2x,x+2, 10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为( C ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:f(x)=min{2x,x+ 2,10-x}(x≥0)的图象如图 .令 x+2=10-x,解得
x=4.当 x=4 时 ,f(x)取最大值 ,f(4)=4+2=6.

热点三

数形结合思想在解析几何中的应用

【例 3】 已知 P 是直线 3x+4y+8= 0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x- 2y+1=0 的两条切线,A,B 是切点,C 是圆心,求四边形 PACB 面积的最小值. 解:根据题意 ,画出图形如下图 ,

当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左上方或向右下方无穷远处运
1 1 动时 ,Rt△PAC 的面积 SRt△PAC= |PA|·|AC|= |PA|越来越大 ,从而 S 四边 2 2


PACB 也越来越大 ;

当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小 ,显 然 ,当点 P 到达一个最特殊的位置 , 即 CP 垂直于直线 3x+4y+8=0 时 ,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值, 此时 |PC|=
|3×1+4×1+8| 32 +42

=3,

从而 |PA|= | |2 -|AC|2 =2 2. ∴(S
1 四边形 PACB )min=2× ×|PA|×|AC|= 2 2

2.

规律方法
由条件绘制相应图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关 系 ,从而解决问题.

拓展训练 3
已知点 P 在抛物线 y2= 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A )

A.

1 ,-1 4

B.

1 ,1 4

C.(1, 2)

D.(1,-2)

解析:定点 Q(2,-1)在抛物线内部,由抛物线的定义知,动点 P 到抛 物线焦点的距离等于它到准线的距离,问题转化为当点 P 到点 Q 和 到抛物线的准线距离之和最小时,求点 P 的坐标,显然点 P 是直线 y=-1 和抛物线 y =4x 的交点,解得这个点的坐标是
2

1 4

,-1 .

易错点 1:图形性错误 【例 4】 关于 x 的方程 1- 2 -x-m=0 有解,则实数 m 的取值范 围为 .

错解:原方程变形为 1- 2 =x+m, 平方得 1-x2=(x+m)2, 即 2x2+2mx+m2-1=0. 因为方程有解, 所以 Δ=(2m)2-8(m2-1)=-4m2+8≥0, 解得- 2≤m≤ 2, 即 m 的取值范围为[- 2, 2].

正解:[-1, 2] 令 y1= 1- 2 (y1≥0),其图象为半个圆,如图. 令 y2=x+m,其图象为一组斜率为 1 的平行直线.

方程有解,即两图象有交点, 则 m∈[-1, 2].

反思提高
对于方程或不等式一定要注意同时开方或平方后与原式是否 等价,不注意此点,易造成丢解或增解.

易错点 2:观察图象不全面致误 【例 5】已知 y=f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, 那么在区间[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠1)有 4 个根, 则 k 的取值范围为 . 错解:如下图所示,画出 y=f(x)在[-1,3]上的简图,

又 f(x)=kx+k+1=k(x+1)+1 为恒过点(-1,1)的直线系, 根据图象可知,在 l2,l3 之间的直线都满足有 4 个交点,故 k 的取 值范围为 - ,0 .
1 5

正解: - ,0

1 3

由图象可知,在 l1,l2 之间的直线都满足与函数图
1

象在区间[-1,3]上有 4 个交点,结合图象可知 k 的取值范围为 - 3 ,0 .

反思提高
因观察图象不全面 ,只找出了满足题意的一部分直线,导致范围 缩小,因此观察要全面,抓住关键点 .

1.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是( D ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

解析:如图 ,异面直线 l1,l2 的公垂线段为 AB,l2?α,l1∥α,PC⊥l 2 于 C,PE⊥l1 于 E,且 PE=PC,在 α 内建系如图 ,设 P(x,y),则 d2+x2=y2,即 y2-x2=d2,故点 P 的轨迹为双曲线 .

2- -1,x ≤ 0, 2.设函数 f(x)= 若 f(x0)>1,则 x 0 的取值范围是( D ) 1 2 ,x > 0. A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪ (0,+∞) D.(-∞,-1)∪ (1,+∞)

解析:方法一 :∵f(x0)>1,当 x≤0 时 ,2-0 -1>1,2-0 >2,-x0>1,∴x 0<-1; 当 x>0 时 ,0 >1,∴x 0>1; 综上 ,x0 的取值范围为 (-∞,-1)∪(1,+∞). 方法二 :首先画出函数 y=f(x)与 y=1 的图象 (如图 ),
1 2

解方程 f(x)=1,得 x=-1 或 x=1. 由图中易得 f(x0)>1 时 ,所对应 x0 的取值范围为 (-∞,-1)∪(1,+∞).

3.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[3,4]时 ,f(x)=x-2, 则( C ) A.f
1 sin 2

<f

1 cos 2

B.f

π sin 3 3 2

>f

π cos 3 3 2

C.f(sin 1)<f(cos 1)

D.f sin

>f cos

解析:由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期, 设 x∈[-1,0],知 x+4∈[3,4],f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2,画出函数 f(x) 的图象, 如图所示,

sin <cos ?f sin
π π

1 2

1 2

1 2 π

>f cos

1 2 π

;

sin3>cos3?f sin 3 <f cos 3 ; sin 1>cos 1?f(sin 1)<f(cos 1); sin2>cos2?f sin 2 <f cos 2 .
3 3 3 3

≥ 2, 1 4.设实数 x,y 满足 2 + -5 ≥ 0,则 U= x + y-5 的最小值 2 + -4 ≤ 0, 3 是

2

.

解析:作出可行域如图阴影部分所示 .

易知 A 令 z=

3 2

,2 ,B(2,2),C(1,3), =
1 x+y-5 2 1 2 +1 2


1 2 +1 2

,

经计算 ,点 C(1,3)为最优解 ,此时 Umin= .
2

3


...与方程2.2.2椭圆的简单几何性质教案文新人教A版选修...

的简单几何性质教案文新人教A版选修2_1_数学_初中...性质的基本方法,进一步体会数形结合 目标 的思想。 ...椭圆离心率的概念的理解. 难点 教学 多媒体课件 ...

人教A版高中数学必修2全部说课稿_图文

課是高中新課标人教 A 版必修 2 第一章第一节的...(课件动画演示) 介绍概念 中心投影:光线由一点向外...②加深对数形结合思想的理解,加强对待定系数法的运用...

最新人教A版必修5(新课标)高中数学 2.2.2等差数列通项...

最新人教A版必修5(新课标)高中数学 2.2.2等差...渗 透方程思想,进一步渗透数形结合思想、函数思想....教具准备 多媒体及课件?? 三维目标 一、知识与技能...

...复习配套word版训练:专题九 第2讲 数形结合思想]

【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套word版训练:专题九 第2讲 数形结合思想]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮...

...提能专训2 第2讲 数形结合思想Word版含解析

【名师伴你行】2015届高考理科数学二轮复习专题 提能专训2 第2讲 数形结合思想Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。提能专训(二) 一、选择题 数形结合思想...

第二章数列2.2等差数列2.2.2等差数列的通项公式教案新人教A版必修...

2.2等差数列的通项公式教案新人教A版必修5_初中...通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、...教学 重、 难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 ...

...专题配套word版练习:专题八 第2讲 数形结合思想]

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...配套word版练习:专题八 第2讲 数形结合思想]_高考...2 D.(2,+∞) 则实数 k 的取值范围是( 1 A....

三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象说课稿新人教A版必...

(ωxφ)的图象说课稿新人教A版必修4新人教A版...识形 成体系,有助于培养学生利用数形结合思想...特别是通过多媒体课件的演示, 直观展示函数图像变换...

...第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选...

搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2.1曲线与方程学案新人教A版选修2-1讲解_高考_...已知条件求出曲线方程; (3)培养 数形结合思想...

高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案新人教A版必修2_...

4.1.1圆的标准方程教案新人教A版必修2_数学_初中...用解析法研究几何 问题的能力,渗透数形结合思想,...难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 同学们,我们...