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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-6 直线、圆的位置关系课件 (文) 全国.重庆专版


第六节

直线、圆的位置关系

? 1.直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 0 个 1个 公共点个数 几何特征(圆 心到直线 d>r d=r 的距离d, 半径r) 代数特征(直 有两组 线与圆的 相同 无实数解 方程组成 实数 的方程组) 解 相交 2 个 d<r 有两 组不 同实 数解

直线与圆相交时弦长的求法 (1)若求出直线与圆的两交点 A、 的坐标, L=|AB|. B 则 (2)利用勾股定理:若弦心距为 d,圆的半径为 r,则 由图可知,弦长|AB|=2 r2-d2. (3) 利 用 弦 长 公 式 : |AB| = 1+k2 |x1 - x2| = 1+k2 × (x1+x2)2-4x1x2(方程联立,消去 y,再利用根与系数 的关系).

? 2.圆与圆的位置关系
位置关 系
公共点 个数

外离
0

外切
1

相交
2

内切
1

内含
0

几何特 征( 圆心 距d R-r< ,两 d>R+ d=R+ d d=R- d<R r r r -r 圆半 <R+r 径R

? 两圆相交时,公共弦所在直线的方程的求 解: ? 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0① ? 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,② ? ①-②得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2= 0.③ ? ③即为表示过两圆C1与C2的交点的直线, 即公共弦所在直线的方程.

1.(2008 年陕西卷)直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2- 2x-2=0 相切,则实数 m 等于 A. 3或- 3 B.- 3或 3 3 C.-3 3或 3 D.-3 3或 3 3 ( )

【解析】 把圆的方程化成标准方程(x-1)2+y2=3, | 3×1-0+m| 由已知得 2 2= 3,即|m+ 3|=2 3, ( 3) +(-1) ∴m=-3 3或 m= 3.故选 C.
【答案】 C

2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 ( A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 )

【解析】

圆方程为(x-2)2+y2=4,圆心(2,0),半径

为 2,点 P 在圆上, 设切线方程为 y- 3=k(x-1), 即 kx-y-k+ 3=0, |2k-k+ 3| ∴ =2, 2 k +1 3 解得 k= 3 .

3 ∴切线方程为 y- 3= (x-1), 3 即 x- 3y+2=0.
【答案】 D

x y 3.(2008 年全国卷Ⅰ)若直线 + =1 与圆 x2+y2=1 a b 有公共点,则 A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 1 1 C.a2+b2≤1 1 1 D.a2+b2≥1 ( )

x y 【解析】 直线 + =1 可化为 bx+ay-ab=0, a b ∵直线与圆有公共点,∴d≤r, |ab| 1 1 2 2 2 2 即 2 2≤1?a +b ≥a b ?a2+b2≥1.故选 D. a +b

【答案】 D

4.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、 两点, B 且弦 AB 的长为 2 3, a=________. 则
【解析】 圆半径 r=2,半弦长= 3,令圆心到直线的

距离为 d,则 d2=22-3=1. |a-2+3| ∴ =1.解之可得 a=0. 2 a +1

【答案】 0

? 5.(2008年四川卷)已知直线l:x-y+4= 0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则C上各 点到l距离的最小值为________.
【解析】 由数形结合可知:

所求最小值为圆心到直线的距离—圆的半径. 由 圆 心 C(1,1) 到 直 线 x - y + 4 = 0 的 距 离 d = |1-1+4| =2 2,故最小值为 2 2- 2= 2. 2

? ? ? ? ?

已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x +b,当b为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 【思路点拨】 利用直线与圆的位置关系 解题.

【解析】 解法 1:圆心 O(0,0)到直线 y=x+b 的距 |b| 离为 d= ,圆的半径 r= 2, 2 |b| (1)当 d<r,即 < 2,-2<b<2 时,直线与圆相 2 交,有两个公共点; |b| (2)当 d=r,即 = 2,b=± 时, 2 2 直线与圆相切,有一个公共点;

|b| (3)当 d>r,即 > 2,b>2 或 b<-2 时,直线与 2 圆相离,无公共点. 解法 得:
?x2+y2=2, ? 2:联立两个方程得方程组? ?y=x+b. ?

消去 y

? 2x2+2bx+b2-2=0,其判别式Δ=16- 4b2, ? (1)当Δ=16-4b2>0,即-2<b<2时,有 两个公共点; ? (2)当Δ=16-4b2=0,即b=±2时,有一 个公共点; ? (3)当Δ=16-4b2<0,即b>2或b<-2时, 无公共点.

已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

? 【解析】 (1)圆心C(1,2),半径为r=2, ? 当直线的斜率不存在时,方程为x=3. ? 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1= 2=r知, ? 此时,直线与圆相切. ? 当直线的斜率存在时, ? 设方程为y-1=k(x-3), ? 即kx-y+1-3k=0.

|k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 4 k2+1 3 ∴方程为 y-1=4(x-3), 即 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.

|a-2+4| (2)由题意有 =2, 2 a +1 4 解得 a=0 或 a=3. |a+2| (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 2 , a +1
? ∴? ? ?

|a+2| ?2 ?2 3?2 3 ? ? ? 2 ? +? 2 ? =4,解得 a=-4. a +1? ? ?

? 求过某点的切线问题,应首先确定点与圆 的位置关系,再求直线方程,若点在圆上, 则过该点的切线只有1条;若点在圆外, 则过该点的切线有2条,此时应注意斜率 不存在的情况..

? 1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0. ? (1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x 轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程; ? (2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线, 切点M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|, 求点P的轨迹方程.

【解析】 (1)由圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0, 得圆心坐标 C(-1,2),半径 r= 2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零, ∴设直线 l 的方程为 x+y=a(a≠0). ∵直线 l 与圆 C 相切, |-1+2-a| ∴ = 2, 2 ∴a=-1,或 a=3. 所以所求直线 l 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0.

? ? ? ? ?

(2)∵切线PM与半径CM垂直,设P(x,y), 又∵|PM|2=|PC|2-| CM|2,|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, ∴2x-4y+3=0, 所以所求点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.

?

已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+ y2-10x-12y+m=0. ? (1)m取何值时两圆外切? ? (2)m取何值时两圆内切? ? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方 程和公共弦的长.

【解析】 两圆的标准方程为: (x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6), 半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, (5-1)2+(6-3)2= 11+ 61-m, 解得 m=25+10 11.

(2)当两圆内切时, 因定圆的半径 11小于两圆圆心间 距离 5,故只有 61-m- 11=5, 解得 m=25-10 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0, ∴公共弦长为 2 (
?|4+3×3-23|? ?2 11)2-? 2 2 ? ? =2 4 +3 ? ?

7.

? 应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与 差来确定,从而确定切线的条数.求公共 弦方程时,只需将两圆方程相减即可.

2.圆 O1 的方程为 x2 +(y+1)2 =4,圆 O2 的圆心 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程,并求内公 切线方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求 圆 O2 的方程.

【解析】 (1)由两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是:(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2, 两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2 2=0.

(2)设圆 O2 的方程为:(x-2)2+(y-1)2=r2, 2 ∵圆 O1 的方程为:x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相减, 即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程: 4x+4y+r2-8=0.① 2 1 作 O1H⊥AB,则|AH|= |AB|= 2,O1H= 2, 2 |r2-12| 2 由圆心(0,-1)到直线①的距离 = 2, 4 2

得 r2=4 或 r2=20, 2 2 故圆 O2 的方程为: (x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.

? 圆与直线的位置关系,主要考查相交与相 切的情况,由于圆锥曲线的切线不作重点 要求,因此圆的切线问题也就显得突 出.本部分内容多以选择题或填空题的形 式出现,此类题一般难度不大.

? 1.(2009年全国卷Ⅱ)已知圆O:x2+y2=5, 和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与 两坐标轴围成的三角形的面积等于 ______.
【解析】 因为点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上,故过 5 点 A 的圆的切线方程为 x+2y=5,令 x=0 得 y= . 2 1 5 25 令 y=0 得 x=5,故 S△=2×2×5= 4 .

? 2.(2009年湖北卷)过原点O作圆x2+y2- 6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别 为P、Q,则线段PQ的长为________.

【解析】

圆 x2+y2-6x-8y+20=0 可化为(x-3)2

+(y-4)2=5.圆心(3,4)到原点的距离为 5. 5 故 cos α= 5 . 3 ∴cos∠PO1Q=2cos α-1=-5,
2

3 ∴|PQ| =( 5) +( 5) +2×( 5) × =16. 5
2 2 2 2

【答案】 4


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