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专题练习四 相似三角形的判定与性质


九年级数学上册(北师版)

专题练习四 相似三角形的判定与性质

1. 已知△ABC∽△DEF, 若△ABC 的各边长分别 3, 4, 5,△DEF 的最长边是 8,则△DEF 的周长是( D ) 13 A. 2 39 B. 2 106 C. 5 96 D. 5

2. 如图四个三角形, 与左图中的三角形相似的是( C

)

3.如图,已知△ABC 中,P 是边 AC 上的一点,连接 BP,以下条件不能判定△ABP∽△ACB 的是( D ) A.∠ABP=∠C AB AC C. AP =AB B.∠APB=∠ABC AC BC D.AB=AP

4.如图,在边长为 9 的正方形 ABCD 中,F 为 AB 上一 点,连接 CF.过点 F 作 FE⊥CF,交 AD 于点 E,若 AF =3,则 AE 等于( C ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5

5.(2014·北塘区二模)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, 对角线 AC,BD 相交于点 O,S△ADO=1,S△DCO=4,则 △AOD 与△BOC 的面积比等于( D ) 1 1 1 A.2 B.4 C.8 1 D.16

6.(2014·南通)如图,△ABC 中,AB=AC=18,BC =12,正方形 DEFG 的顶点 E,F 在△ABC 内,顶点 D, G 分别在 AB,AC 上,AD=AG,DG=6,则点 F 到 BC 的距离为( D ) A.1 C.12 2-6 B.2 D.6 2-6

7.已知△ABC与△DEF相似且对应高的比为2∶5,则 △ABC与△DEF的面积比为________ 4∶25 . 8.如图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则 10 AD=________ . 3

9.已知,如图,在△ABC中,AB=AC=10,延长AC 到E,使CE=AC,过B点作BE的垂线交AC于D,若D为 AC的中点,则BE的长为________ . 6 5

第9题图

第10题图

10.(2014·滨州)如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC AD 2 分成的两部分面积相等,则AB =________. 2

11.如图,一束光线从y轴上点A(0,1)发出,经过x轴上 (2,0) . 点C反射后,经过点B(6,2),则点C的坐标是________

第11题图

第12题图

12.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使

点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=
6,BC=8,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC 24 4. 或 相似,那么BF的长度是________ 7

13.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB

于E.求证:△ABD∽△CBE.

证明:在△ABC中,AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∵CE⊥AB,

∴∠ADB=∠CEB=90°,
又∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.

14.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC, 垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=3.5,AD=4,AF=2.8, 求平行四边形ABCD的面积. (1)证明:∵∠AFE=∠B,∴180°-∠AFE=180° -∠B,∴∠AFD=∠C,又∠ADF=∠DEC, ∴△ADF∽△DEC; AD AF 4 2.8 (2) 解 : 由 (1) 得 = ,∴ = , ∴ DE = 5. 又 DE DC DE 3.5
AE⊥BC, ∴AE⊥AD, 在 Rt△ADE 中, AE=3, ∴S?ABCD =4×3=12.

15.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC边上一点,

∠ADE=∠C.
(1)若∠1=65°,求∠2的度数; (2)若AD=AB,BD=10,CD=12,CE=14,求AE的长. 解:(1)∵∠ADE=∠C,∠EAD=∠DAC, ∴△ADE∽△ACD,

∴∠AED=∠ADC,
∴∠1=∠2.又∠1=65°, ∴∠2=65°;

(2)∵AD=AB,∴∠B=∠2,∴∠2=∠1,∴∠B= BC AC ∠1,∵∠C=∠C,∴△CBA∽△CED,∴CE=CD, 10+12 x+14 34 设 AE=x,则 = ,解得:x= ,即 AE 14 12 7 34 = . 7

16.已知矩形ABCD,长BC=12 cm,宽AB=8 cm,P, Q分别是AB,BC上运动的两点.若P自点A出发,以1 cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发,以2 cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P,B,Q为 顶点的三角形与△BDC相似?

解:设经过 x 秒后,△PBQ 与△BCD 相似,由于∠PBQ =∠BCD=90°.①如图,当∠1=∠2 时,有△PBQ∽△ 8-x 2x PB BQ 24 DCB,∴ = ,即 = ,x= ;②当∠1=∠3 DC BC 8 12 7 8-x 2x PB BQ 时,有△PBQ∽△BCD,∴BC=DC,即 12 = 8 ,x= 24 2.∴经过 7 秒或 2 秒,△PBQ 与△BCD 相似.

17.(1)如图①,在△ABC 中,点 D,E,Q 分别在 AB,AC, DP PE BC 上,且 DE∥BC,AQ 交 DE 于点 P,求证:BQ=QC; (2)如图,△ABC 中,∠BAC=90°,正方形 DEFG 的四个顶 点在△ABC 的边上, 连接 AG, AF 分别交 DE 于 M, N 两点. Ⅰ.如图②,若 AB=AC=1,直接写出 MN 的长; Ⅱ.如图③,求证:MN2=DM·EN.

(1)证明:在△ABQ 和△ADP 中,∵DP∥BQ,∴△ADP DP AP EP ∽△ABQ,∴BQ=AQ.同理,在△ACQ 和△AEP 中,CQ AP DP PE =AQ,∴BQ=QC;

2 (2)Ⅰ 作 AQ⊥BC 于点 Q, 交 DE 于点 P.易求得 BC 边上的高 AQ= , 2 又由题意得 DE = DG = GF = EF = BG = CF , ∴ DE ∶ BC = 1∶3 , 又 ∵DE∥BC,∴AD∶AB=1∶3,又 AB=AC=1,∴BC= 2,∴AD 1 2 2 = , DE = , ∴ DE 边上的高 AP = , MN ∶ GF = AP∶AQ = 3 3 6 2 2 2 2 2 2 ∶ ,∴MN∶ = ∶ ,∴MN= ;Ⅱ 证明:∵∠B+∠C 6 2 3 6 2 9 =90°,∠CEF+∠C=90°,∴∠B=∠CEF,又∵∠BGD=∠EFC DG BG =90°, ∴△BGD∽△EFC, ∴ CF = EF , ∴DG· EF=CF· BG, 又∵DG DM MN EN MN MN 2 =GF=EF,∴GF =CF· BG,由Ⅰ得 BG = GF = FC ,∴ GF × GF = DM EN MN 2 DM EN 2 2 · , ∴ ( ) = · , 又已证得 GF = CF· BG , ∴ MN =DM· EN. BG CF GF BG CF


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