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甘肃省兰州市2013届高三第一次(3月)诊断考试数学(文)试题


2013 年高三诊断考试



学(文)

注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。试题前标注有(理)的试题理科考 生作答,试题前标注有(文)的试题文科考生作答,没有标注的试题文理科考生均作答。 2.本卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 3.答题全部在答题纸上完成,试卷上答题无效。

第 I 卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.(文)若全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} , M ? {2, 3} , N ? {1, 4} ,则集合 N ? ( ?U M ) 等于 A. {1, 2 , 3, 4} B. {1, 4 , 5, 6} C. {1, 4 , 5} D. {1, 4}

2.(文)设 i 为虚数单位,若 ( x ? i )(1 ? i ) ? y ,则实数 x , y 满足

A. x ? ? 1, y ? 1
3

B. x ? ? 1, y ? 2

C. x ? 1, y ? 2

D. x ? 1, y ? 1

3.曲线 y ? x ? 1 1 在点 P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是 A.75
x a
2 2

B.

75 2

C. 27

D.

27 2

4.若点 P ( 2 , 0 ) 到双曲线 心率为 A. 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的一条渐近线的距离为

2 ,则该双曲线的离

B. 3

C. 2 2

D. 2 3

5.(文)下列命题中的真命题是 A.对于实数 a 、 b 、 c ,若 a ? b ,则 a c ? b c
2 2

B.不等式

1 x

? 1 的解集是 { x | x ? 1}

C. ? ? , ? ? R ,使得 sin (? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立 D. ? ? , ? ? R , ta n (? ? ? ) ?
ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ? ta n ?

成立

6.(文)已知数列 { a n } 为等差数列,若 a1 ? a 7 ? a 1 3 ? 4 ? ,则 tan ( a 2 ? a1 2 ) ?
3 3 3 3

A. ? 3

B. 3

C.

D. ?

开始

7. 执行右面的程序框图,若输入的 n ? 6 , m ? 4 那么输出的 p 是 A.120 B.240 C.360 D.720

输入 n、m k=1,p=1

p=p(n-m+k) 是 k<m 否 输出 p 结束

k=k+1

8. 有一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.16 B.20 C.24 D.32
3 4

2

9.(文) 在半径为 1 的圆内任取一点,以该点为中点作弦,则所做弦的长度超过 3 的概率是 A.
1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

10.(文) 已知动点 P 到两定点 A 、 B 的距离和为 8,且 | A B | ? 4 3 ,线段 A B 的的中点为 O , 过点 O 的所有直线与点 P 的轨迹相交而形成的线段中,长度为整数的有 A. 5 条 B. 6 条 C. 7 条 D. 8 条

11.(文)数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 3 S n ,则 a 6 ? A. 3 ? 4
4

B. 3 ? 4 ? 1
4

C. 4

4

D. 4 ? 1
4

12.(文)已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且满足 f ( 5 ? x ) ? f ( 5 ? x ) ,在[0,5]上有且只有
f (1) ? 0 ,则 f ( x ) 在[–2013,2013]上的零点个数为

A.808

B.806

C.805

D.804

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
?x ? 3y ? 5 ? 0 ? 13. (文)已知变量 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. ? x ? 0 , y ? 0? ?

14. (文)已知向量 a ? ( k , ? 2 ) , b ? ( 2 , 2 ) , a ? b 为非零向量,若 a ? ( a ? b ) ,则 k ?

r

r

r

r

r

r

r

.

15.已知三棱锥 S ? A B C 的所有顶点都在以 O 为球心的球面上, ? A B C 是边长为 1 的正三角形,
S C 为球 O 的直径,若三棱锥 S ? A B C 的体积为

2 6

,则球 O 的表面积为

.
?
2

16. (文)定义一种运算 a ? b ? ? 数 f (x ?
?
2

?a ?b

a ?b a ?b

.令 f ( x ) ? (c o s x ? s in x ) ?
2

5 4

.当 x ? [ 0 ,

] 时,函

) 的最大值是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a ? b ? c ? b c .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 3 , b ? 2 ,求 c 的值.

18. (本小题满分 12 分) (文) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,P A ? 平面 A B C D ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2 ,
P

? BAD ? 60 ? .

(Ⅰ)求证: B D ? 平面 P A C ; (Ⅱ)若 PA ? AB ,求棱锥 C ? P B D 的高.

19. (本小题满分 12 分) (文) 某售报亭每天以每份 0.4 元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份 1 元的价格出 售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份 0.1 元的价格卖给废品收购站. (Ⅰ)若售报亭一天购进 280 份报纸,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 x (单位:份,
x ? N )的函数解析式.

(Ⅱ)售报亭记录了 100 天报纸的日需求量(单位:份) ,整理得下表: 日需求量 x 频数 240 10 250 20 260 16 270 16 280 15 290 13 300 10

(1)假设售报亭在这 100 天内每天购进 280 份报纸,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若售报亭一天购进 280 份报纸,以 100 天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率, 求当天的利润不超过 150 元的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已 知 点 P 为 y 轴 上 的 动 点 , 点 M 为 x 轴 上 的 动 点 , 点 F (1, 0 ) 为 定 点 , 且 满 足
uuur uuu r uuu 1 uuur r PN ? N M ? 0 , PM ? PF ? 0 . 2

(Ⅰ)求动点 N 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A , B ,试判断在 x 轴上是否存在点 C ,使 得 | C A | ? | C B | ? | A B | 成立,请说明理由.
2 2 2

21. (本小题满分 12 分)

(文) 已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? 2 e x ,g ( x ) ? 3 e ln x ? b ( x ? R ,e 为常数,e ? 2 .7 1 8 2 8 ) ,
2
2

?

且这两函数的图象有公共点,并在该公共点处的切线相同. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)若 x ? (0 ,1] 时,证明: 2[ f ( x ) ? 2 e x ] ?
1 3e
2

[ 2 g ( x ) ? e ] ? 4 x ? 3 恒成立.
2

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清 .... 题号.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:《几何证明选讲》 已知: 如图, ? O 为 ? A B C 的外接圆, 直线 l 为 ? O 的切线, 切点为 B , 直线 A D ∥ l , B C 交 于 D 、交 ? O 于 E , F 为 A C 上一点,且 ? E D C ? ? F D C . 求证: (Ⅰ) A B ? B D ? B C ;
2

A

l

(Ⅱ)点 A 、 B 、 D 、 F 共圆.
B

g O
D E

F C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 《坐标系与参数方程》 在 直 接 坐 标 系 xoy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 4 ? 0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) ? ? y ? s in ? ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 x o y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴)中,点 P 的极坐标为(4,
?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 《不等式选讲》 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ;

(II)求不等式 f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集.
2

2013 高三诊断考试 数学参考答案及评分标准(文)
一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的

题号 答案

1 D

2 C

3 D

4 A

5 C

6 A

7 C

8 B

9 B

10 D

11 A

12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 4 ; 14. 0 ; 15. 4 ? ; 16. 1 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)由 a ? b ? c ? b c ,得
2 2 2

b ?c ?a
2 2

2

? ?

1 2

.

………………3 分

2bc

∴ cos A ? ?

1 2

. ∴A ?
b a
2? 3

∵0 ? A ? ? ,

.
2 2 3 3 2 1 2

………………6 分

(Ⅱ)由正弦定理,得 s in B ?
2? 3

s in A ?

?

?

.

………………9 分

∵A ? ∴B ?

,

0? B ?? ,

?
6

.

∴C ? ? ? ( A ? B ) ?

?
6

.

………………11 分 ………………12 分

∴c ? b ? 2 . 18. (Ⅰ)证明:因为四边形 A B C D 是菱形,所以 A C ? B D . 又因为 P A ? 平面 A B C D ,所以 P A ? B D . 又 P A ? A C ? A ,所以 B D ⊥平面 P A C .
P

………………6 分

(Ⅱ)解:∵ V C ? P B D ? V P ? C B D ,设棱锥 C ? P B D 的高为 h ∴ h ? S ?PBD ?
3 1 1 3 P A ? S ?CBD

………………8 分
D A C

. ∵ PA ? AB , A B ? 2 , ? BAD ? 60 ? ∴ PB ? PD ? 2 2 , ∴ S ?PBD ?
1 2
2 21 7
BD ? 2

BD ?

PB ? (
2

1 2

BD )

2

?

7 , S ?CBD ?

1 2

BD ?

1 2

B

AC ?

3

……10 分

∴h ?

P A ? S CBD S ?PBD

?

.

即棱锥 C ? P B C 的高为

2

21 7

.

………………12 分

19. 解:(Ⅰ)当 x ? 2 8 0 时, y ? 2 8 0 ? (1 ? 0 .4 ) ? 1 6 8 ; 当 x ? 2 8 0 时, y ? (1 ? 0 .4 ) x ? ( 2 8 0 ? x ) ? 0 .1 ? ( 2 8 0 ? x ) ? 0 .4 ? 0 .9 x ? 8 4 ,

∴y ? ?

? 0 .9 x ? 8 4 , ?1 6 8 ,

( x ? 280) ( x ? 280)

(x ? N )

………………5 分

(Ⅱ)(1) 这 100 天中,每天利润为 132 元的有 10 天,每天利润为 141 元的有 20 天,每天利润 为 150 元的有 16 天,每天利润为 159 元的有 16 天,每天利润为 168 元的有 38 天,所以这 100 天的日利润的平均数为
132 ? 10 ? 141? 20 ? 150 ?16 ? 159 ?16 ? 168 ? 38 100 ? 1 5 4 .6 8 .………………9 分

(2)利润不超过 150 元当且仅当报纸日需求量不大于 260 份,故当天的利润不超过 150 元的 概率的概率为
p ? 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .1 6 ? 0 .4 6 .

………………12 分

20. 解: (Ⅰ)设 N ( x , y ) ,则由 P N ? ∴ P (0,
???? ? y 2 ),
M (? x, 0) .

????

? 1 ???? N M ? 0 ,得 P 为 M N 的中点.………………2 分 2

∴ P M ? (? x, ?
???? ??? ? ?

??? ? y ) , P F ? (1, ? ) . 2 2 y
y
2

∴ PM ? PF ? ? x ?

? 0,

即 y ? 4x .
2

4

∴动点 N 的轨迹 E 的方程 y ? 4 x .
2

………………5 分
? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由 ? 则 y1 ? y 2 ?
??? ?
4 k

消去 x 得 y ?
2

4 k

y?4 ? 0.

设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

,

y1 y 2 ? ? 4 .

………………6 分

假设存在点 C ( m , 0 ) 满足条件,则 C A ? ( x1 ? m , y 1 ) , ∴ C A ? C B ? x1 x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) ? m ? y 1 y 2 ? (
2

??? ? C B ? ( x2 ? m , y2 ) ,
y1 ? y 2
2 2

??? ??? ?

y1 y 2 4

) ? m(
2

)?m ?4
2

4

? ?

m 4
2

[( y 1 ? y 2 ) ? 2 y 1 y 2 ] ? m ? 3
2 2

? m ? m(

4 k
2

? 2) ? 3 .

………………9 分

∵? ? (

4 k
2

? 2) ? 12 ? 0 ,
2

∴关于 m 的方程 m ? m (
2

4 k
2

? 2 ) ? 3 ? 0 有解 .
2 2 2

………………11 分

∴假设成立,即在 x 轴上存在点 C ,使得 | C A | ? | C B | ? | A B | 成立. …………12 分
3e x
2

21. 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? x ? 2 e , g ? ( x ) ?
1 2



设 f (x) ?

x ? 2 e x 与 g ( x ) ? 3 e ln x ? b 的公共点为 ( x 0 , y 0 ) ,则有
2
2

?1 2 2 x ? 2 e x 0 ? 3 e ln x 0 ? b , ?2 0 ? 2 3e ? x0 ? 2 e ? , ? x0 ? ? x ? 0. 0 ? ?

………………3 分

解得 b ? ?

e

2

.

………………5 分

2
e
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x ) ? 3 e ln x ?
2

.

2

所以 2[ f ( x ) ? 2 e x ] ?

1 3e
2

[ 2 g ( x ) ? e ] ? x ? 2 ln x .
2 2

∴ 要证 x ? (0,1] 时, x ? 2 ln x ? 4 x ? 3 恒成立,
2

即证 x ? (0 ,1] 时, x ? 4 x ? 3 ? 2 ln x ? 0 恒成立 .
2

………………8 分

设 h ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ? 2 ln x (0 ? x ? 1) , 则
2

h ?( x ) ? 2 x ? 4 ?

2 x

?

2x ? 4x ? 2
2

?

2 ( x ? 1) x

2

.

x

∵ x ? (0 ,1]
2

∴ h ? ( x ) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号). ………………11 分

∴ h ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ? 2 ln x 在 (0 ,1] 上为增函数. ∴ h ( x ) m ax ? h (1) ? 1 ? 4 ? 3 ? 0 ? 0 . ∴ x ? (0 ,1] 时, 2[ f ( x ) ? 2 e x ] ?
1 3e
2

[ 2 g ( x ) ? e ] ? 4 x ? 3 恒成立.………………12 分
2

22. 证明:⑴∵直线 l 为 ? O 的切线, ∴∠1= ? A C B . ∵ AD ∥l , ∴∠1=∠ D A B .

∴?ACB =?DAB , 又∵ ? A B C = ? D B A , ∴ ?ABC ∽ ?D AB . ∴
AB DB
2

?

BC AB

. ………………5 分

∴ AB ? BD ? BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? B A C ? ? A D B . ∵ ?EDC ? ?FDC ,
?EDC ? ?ADB ,

∴ ? B A C ? ? F D C . ∴ ? B A C ? ? F D B ? ? F D C ? ? F D B ? 180°. ∴点 A 、 B 、 D 、 F 共圆. 23. 解: (I)把极坐标系下的点 P ( 4 ,
?
2 ) 化为直角坐标,得 P (0 , 4 ) .

………………10 分

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上. (II)设点 Q 的坐标为 ( 3 co s ? , sin ? ) ,则点 Q 到直线 l 的距离为
2 c o s (? ? ? 2

………………5 分

?
6

d ?

|

3 c o s ? ? s in ? ? 4 | 2

)?4 ? 2 c o s (? ?

?
6

)?2

2 .

由此得,当 c o s (? ?

?
6

) ? ? 1 时, d 取得最小值,且最小值为

2

.

………………10 分

24. 解: (I)证明:当 x ? 2 时, f ( x ) ? 2 ? x ? (5 ? x ) ? ? 3 ; 当 2 ? x ? 5 时, f ( x ) ? x ? 2 ? (5 ? x ) ? 2 x ? 7 ,所以 ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; 当 x ? 5 时, f ( x ) ? x ? 2 ? ( x ? 5) ? 3 . 所以 ? 3 ? f ( x ) ? 3 . (II)由(I)可知, 当 x ? 2 时, f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5 ? x ? 8 x ? 1 8 ? 0 ? ( x ? 4 ) ? 2 ? 0 ,
2 2 2

………………5 分

∴ f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2

当 2 ? x ? 5 时, f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5 ? x ? 1 0 x ? 2 2 ? 0 ? 5 ?
2 2

3 ? x ? 5?

3,

∴ f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 { x | 5 ?
2
2 2

3 ? x ? 5} ;

当 x ? 5 时, f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5 ? x ? 8 x ? 1 2 ? 0 ? 2 ? x ? 6 , ∴ f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 { x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 { x | 5 ?
2

3 ? x ? 6} . ………………10 分

()

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