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河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二下学期4月月考数学(文)试卷 Word版含解析


河北省石家庄市正定中学 2014-2015 学年高二下学期 4 月月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) . 1.已知集合 A= A.? B.{1} ,集合 B={y|y=sinx,x∈R},则 B∩CRA=( C.{﹣1} )

D.{﹣1,1}

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:解分式不等式求得 A,根据正弦函数的值域求得 B,利用补集的定义求得 CRA,再根 据两个集合的交集的定义求得 B∩CRA. 解答: 解:∵集合 A= ={x| ≤0}={x|﹣1≤x<1},

集合 B={y|y=sinx,x∈R}={y|﹣1≤y≤1},则 CRA={x|x<﹣1,或 x≥1}, ∴B∩CRA={1}, 故选:A. 点评:本题主要考查分式不等式的解法,正弦函数的值域,求集合的补集,两个集合的交集 的定义和求法,属于基础题. 2.命题“?x∈R,e >x”的否定是( ) x x A.?x0∈R,e <x B.?x∈R,e <x 考点:命题的否定. 专题:计算题. 分析:全称命题的否定是特称命题,全称量词“?”改为存在量词“?”,并同时把“e >x”否定. 解答: 解:∵全称命题的否定是特称命题, x x ∴命题“?x∈R,e >x”的否定是?x0∈R,e ≤x. 故选 D. 点评:本题主要考查了命题的否定,属于基础题之列. 3.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成 如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是( )
x x

C.?x∈R,e ≤x

x

D.?x0∈R,e ≤x

x

A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于 20% B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于 20% C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于 20% D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于 20% 考点:众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计. 分析:根据散点图中的点的分布,可以判断两个变化是否具有相关关系,根据点的单调性可 以判断是正相关还是负相关,以及中位数. 解答: 解: 由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近, 所以由此可以判断两个变量具 有相关关系,而且是正相关, 再由散点图中点的个数得到中位数为最中间两数的平均数,则且脂肪含量的中位数小于 20%, 故选:B. 点评:本题主要考查利用散点图的判断变量相关关系已经线性相关性,比较基础.

4.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 则 S5 等于( A.35 ) B.33 C.31

,且 a4 与 a7 的等差中项为 ,

D.29

考点:等比数列的前 n 项和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 ,可得 4 a1?a7=a1,解得 a7= .再由 = ,解得 a4=2,利用

等比数列的通项公式求出首项和公比的值,代入等比数列的前 n 项和公式化简求值. 解答: 解:由 ,可得 4 a1?a7=a1,解得 a7= .

再由 a4 与 a7 的等差中项为 ,可得 设公比为 q,则 故选 C. =2?q ,解得 q= ,故 a1=
3

= ,解得 a4=2. =16,S5= =31,

点评:此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值,是一道中档题. 5.实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x ﹣mx+4=0 有实根的概率为( A. B. C. D.
2

)

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:根据几何概型计算公式,首先求出方程有实根的 m 的范围,然后用符合题意的基本 事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度,即可得到所求的概率. 解答: 解:∵方程 x ﹣mx+4=0 有实根, 2 ∴判别式△ =m ﹣16≥0, ∴m≤﹣4 或 m≥4 时方程有实根, ∵实数 m 是[0,6]上的随机数,区间长度为 6,[4,6]的区间长度为 2, ∴所求的概率为 P= = . 故选:B. 点评:本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识,给出在区间上取数的事件,求相 应的概率值.关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积.
2

6.已知点 P(x,y)的坐标满足条件

,那么(x+1) +y 的取值范围为(

2

2

)

A.[2,8]

B. (2,8]

C .[

,8]

D. (

,8]

考点:简单线性规划. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ ABC 及其内部,设 P(x,y) 、Q 2 2 2 (﹣1,0) ,可得(x+1) +y =|QP| 表示 Q、P 两点距离的平方,因此运动点 P 并加以观察 2 2 得到|QP|的最大、最小值,即可得到(x+1) +y 的取值范围.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部, 其中 A(1,0) ,B(0,2) ,C(1,2) 设 P(x,y)为区域内一个动点,定点 Q(﹣1,0) 则|PQ|=
2 2 2



因此(x+1) +y =|QP| 表示 Q、P 两点距离的平方之值 ∵当 P 与 C 重合时|QP|= =2 达到最大值,

当 P 与 Q 在 AB 上的射影 D 重合量,|QP|= ∴|QP| 的最小值为 故选:C
2 2 2

=

达到最小值 ,8]

,最大值为 8,即(x+1) +y 的取值范围是[

点评:本题给出二元一次不等式组,求(x+1) +y 的取值范围,着重考查了两点的距离公 式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题.

2

2

7.已知 α 是第二象限角,且 sinα= ,f(x)=sin2αcosx+cos2αsinx 的图象关于直线 x=x0 对 称,则 tanx0=( A.﹣ ) B. C.﹣ D.

考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用两角和的正弦化简,再由 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称得到 .则 tanx0= .由已知求得 tanα 后代入二倍角的正切公式

得答案. 解答: 解:∵f(x)=sin2αcosx+cos2αsinx=sin(x+2α)的图象关于直线 x=x0 对称, ∴ ∴tanx0=tan( , )= . . .

∵α 是第二象限角,且 sinα= ,∴cosα=﹣ ,tanα=

则 tanx0=

=

=



故选:A. 点评:本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查了三角函数的图象和性质,属中档题.

8.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是(单位:

m) .( A.

2

) B. C. D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;图表型. 分析:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面是 一个高为 2,底连长也为 2 的等腰直角三角形,底面与垂直于底面的侧面全等,此两面的面 积易求, 另两个与底面不垂直的侧面是全等的, 可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边 的高,将垂足与顶点连接,此线即为侧面三角形的高线,求出侧高与底面的连长,用三角形 面积公式求出此两侧面的面积,将四个面的面积加起来即可 解答: 解: 由三视图可以看出, 此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧 面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面连长为 2,故它们的面积皆为 =2, 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高, 由等面积法可以算出, 此二高线的长度长度相 等,为 , ,同理

将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为 2 可求出侧面底边长为 , = ,

可求得此两侧面的面积皆为

故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = , 故选 A. 点评:本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查 对三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式 求表面积与体积,本题求的是三棱锥的全面积,做本题时要注意本题中的规律应用,即四个 侧面两两相等,注意到这一点,可以大大降低运算量.三视图的投影规则是主视、俯视 长 对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 9.下图是某次考试对一道题评分的算法框图,其中 x1,x2,x3 为三个评阅人对该题的独立 评分,p 为该题的最终得分,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( )

A.11

B.10

C .8

D.7

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据框图的流程分输入 x3<7.5 时和输入 x3≥7.5 时两种情况,利用输出 P 的值求出输 入 x3 的值. 解答: 解:根据框图的流程,当输入 x1=6,x2=9 时,不满足|x1﹣x2|=3<2, 当输入 x3<7.5 时, 满足|x3﹣x1|<|x3﹣x2|, 则执行 x2=x3. 输出 P= 当输入 x3≥7.5 时,不满足|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,则执行 x1=x3,输出 P= =8.5?x3=11 (舍去) ; =8.5?x3=8.

故选:C. 点评: 本题考查了选择结构的程序框图, 根据框图的流程分类讨论是解答此类问题的常用方 法.

10.函数

的部分图象大致是(

)

A.

B.

C.

D. 考点:指数函数的图像变换. 专题:计算题. 分析:先判断函数的奇偶性,f(﹣x)= 可知 f(x)>0 恒成立,结合选项可判断 解答: 解:∵ ∴f(﹣x)= ∴函数 f(x)为偶函数 =f(x) =f(x) ,由指数函数的性质

由指数函数的性质可知 f(x)>0 恒成立 结合选项可知 C 正确 故选 C 点评: 本题主要考查了奇偶函数的图象特征及指数函数的性质的应用, 解题的关键是灵活利 用函数的性质 11.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(0)=1, 则不等式 f(x)<e 的解集为( ) 4 4 A. (﹣∞,e ) B. (e ,+∞) 考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:构造函数 g(x)= 值,即可求解. 解答: 解:设 g(x)= (x∈R) , (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数
x

C. (﹣∞,0)

D. (0,+∞)

则 g′(x)= ∵f′(x)<f(x) , ∴f′(x)﹣f(x)<0 ∴g′(x)<0, ∴y=g(x)在定义域上单调递减 x ∵f(x)<e ∴g(x)<1 又∵g(0)= =1



∴g(x)<g(0) ∴x>0 故选:D. 点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数 的单调性是解题的关键.
2

12.已知椭圆

+y =1,椭圆的中心为坐标原点 O,点 F 是椭圆的右焦点,点 A 是椭圆短 =λ1 ,

轴的一个端点, 过点 F 的直线 l 与椭圆交于 M、 N 两点, 与 OA 所在直线交于 E 点, 若 =λ2 ,则 λ1+λ2=( ) B.10 C.﹣5 D.5

A.﹣10

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设M (x1, y1) , N (x2, y2) (x1>x2) 则由 =λ1 , =λ2 , 可得 λ1+λ2= + ,

设直线方程为 y=k(x﹣2) ,代入椭圆方程,利用韦达定理,即可得出结论. 解答: 解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) (x1>x2)则 ∵椭圆 +y =1,∴c=2, , =λ2 ,∴λ1+λ2= +
2 2 2 2



=λ1

设直线方程为 y=k(x﹣2) ,代入椭圆方程可得(1+5k )x﹣20k x+20k ﹣5=0, ∴x1+x2= ,x1x2= ,



+

=

=﹣10,

∴λ1+λ2=﹣10. 故选:A. 点评:本题考查向量知识的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线 上) . 13.如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是 二象限. , ,则复数 对应的点位于第

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题;数形结合. 分析:由图得到复数 z1,z2,然后利用复数的除法运算把复数 形式,则答案可求. 解答: 解:由图可知 z1=﹣2﹣i,z2=i, 化简为 a+bi(a,b∈R)的



=



该复数对应的点为(﹣1,2) ,该点位于第二象限. 故答案为二. 点评:本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,考查了复数的除法运算,是基础的概念 题. 14.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,其准线与 x 轴相交于点 K,直线 l 过焦点 F 且 倾斜角为 α,则点 K 到直线 l 的距离为 psinα. 考点:抛物线的简单性质. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求得抛物线的焦点和准线,可得 K 的坐标,设出直线 l:x=cotαy+ ,运用点到直线 的距离公式,计算即可得到. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F( ,0) , 其准线为 x=﹣ , 则 K(﹣ ,0) ,可设直线 l:x=cotαy+ ,
2 2

则点 K 到直线 l 的距离为 d=

=

=psinα.

故答案为:psinα. 点评:本题考查抛物线的方程和性质,同时考查点到直线的距离公式的运用,属于中档题. 15.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°, 则此球的表面积等于 20π. 考点:球内接多面体. 专题:计算题;压轴题. 分析:通过已知体积求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为 O',球心为 O,在 RT△ OBO' 中,求出球的半径,然后求出球的表面积. 解答: 解:在△ ABC 中 AB=AC=2,∠BAC=120°, 可得 由正弦定理,可得△ ABC 外接圆半径 r=2, 设此圆圆心为 O',球心为 O,在 RT△ OBO'中, 易得球半径 , 2 故此球的表面积为 4πR =20π 故答案为:20π

点评:本题是基础题,解题思路是:先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球的 半径,这是三棱柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力,计算能力.

16.方程

+

=λ(λ<0)的曲线即为函数 y=f(x)的图象,对于函数 y=f(x) ,下

列命题中正确的是①②③. (请写出所有正确命题的序号) ①函数 y=f(x)在 R 上是单调递减函数; ②函数 y=f(x)的值域是 R; ③函数 y=f(x)的图象不经过第一象限; ④函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称; ⑤函数 F(x)=4f(x)+3x 至少存在一个零点. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:不妨取 λ=﹣1,根据 x、y 的正负去绝对值,将方程化简,得到相应函数在各个区间 上的表达式, 由此作出函数的图象, 再由图象可知函数在 R 上单调递减, 且函数的值域为 R, 所以①②③成立,④不正确.⑤由 F(x)=4f(x)+3x=0 得 f(x)=﹣ .因为双曲线

和﹣

的渐近线为 y=±

,即可得出结论.

解答: 解:不妨取 λ=﹣1,对于①,当 x≥0 且 y≥0 时,方程为 成立. 当 x<0 且 y<0 时,方程为 ,此时 y=﹣3 .

,此时方程不

当 x≥0 且 y<0 时,方程为

,此时 y=﹣3



当 x<0 且 y≥0 时,方程为﹣

,即 y=3



因此作出函数的图象,如图所示 由图象可知函数在 R 上单调递减,所以①②③成立,④不正确. ⑤由 F(x)=4f(x)+3x=0 得 f(x)=﹣ .

因为双曲线

和﹣

的渐近线为 y=±



所以函数 y=f(x)与直线 y=﹣ ⑤不正确. 故答案为:①②③.

无公共点,因此 F(x)=4f(x)+3x 不存在零点,可得

点评:本题给出含有绝对值的二次曲线,要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假.着重 考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识, 属于难题. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 17.在△ ABC 中,AB= (1)求 sinA 的值; (2)求 的值.

考点:正弦定理;平面向量数量积的运算. 专题:计算题;解三角形. 分析: (1)由 cosC= ,0<C<π,先求出 sinC 的值,由正弦定理知: 得:sinA= . 从而解

(2)由余弦定理知:cosC= = 从而可求得 =| |?|

=

,解得:AC=2 或﹣ (舍去) ,

|?cosC=1×2× = .

解答: 解: (1)∵cosC= ,0<C<π,

∴sinC= ∴由正弦定理知:

=

=

, ,从而解得:sinA= .

,即有

(2)由余弦定理知:cosC= = 从而解得:AC=2 或﹣ (舍去) ∴ =| |?| |?cosC=1×2× = .

=

点评:本题主要考察了平面向量数量积的运算,正弦定理、余弦定理的应用,属于基本知识 的考查. 18.某校从参加 2015 届高三年级期 2015 届中考试的学生中抽出 50 名学生,并统计了他们 的数学成绩,数学成绩分组及各组频数如下:[40,50) ,2;[50,60) ,3;[60,70) ,14; [70,80) ,15;[80,90) ,12;[90,100],4. (Ⅰ)估计成绩在 80 分以上学生的比例; (Ⅱ)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩[90, 100]中选两位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学,已知甲同学的成绩为 42 分,乙同 学的成绩为 95 分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (I)先求出成绩在[80,100)的学生数,再结合题意,计算可得答案; (Ⅲ)根据题意,记成绩在[40,50)上的 2 名学生为 a、甲,在[90,100)内的 4 名学生记 为 1、2、3、乙,列举“二帮一”的全部情况,可得其情况数目与甲乙两名同学恰好在同一小 组的情况数目,由古典概型公式,计算可得答案 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布表可得,成绩在[80,100)的学生数为 12+4=16, 则成绩在 80 分以上的学生的比例为 P1= =32%,

(Ⅱ)记成绩在[40,50)上的 2 名学生为 a、甲,在[90,100)内的 4 名学生记为 1、2、3、 乙, 则选取的情况有: (1,2,a) 、 (1,2,甲) 、 (1,3,a) 、 (1,3,甲) 、 (1,乙,a) 、 (1,乙,甲) 、 (2,3,a) 、 (2,3,甲) 、 (2,乙,a) 、 (2,乙,甲) 、 (3,乙,a) 、 (3,乙,甲) ,共 12 种; 其中甲乙两名同学恰好在同一小组的情况有 3 种, 则甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率 P2= = .

点评:本题考查古典概型的计算与频率分布表的作法,关键是运用表中的数据,正确做出频 率分布表.

19.已知四棱锥 E﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2, AB 的中点. (Ⅰ)求证:EO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.

,O 为

考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (I)连接 CO,利用△ AEB 为等腰直角三角形,证明 EO⊥AB,利用勾股定理,证明 EO⊥CO,利用线面垂直的判定,可得 EO⊥平面 ABCD; (II)利用等体积,即 VD﹣AEC=VE﹣ADC,从而可求点 D 到面 AEC 的距离. 解答: (I)证明:连接 CO ∵ ∴△AEB 为等腰直角三角形 ∵O 为 AB 的中点,∴EO⊥AB,EO=1… 又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ACB 是等边三角形 ∴ ,… 2 2 2 又 EC=2,∴EC =EO +CO , ∴EO⊥CO, ∵AB∩CO=O ∴EO⊥平面 ABCD… (II)解:设点 D 到面 AEC 的距离为 h ∵ ∴ ∵ ∴ ∴点 D 到面 AEC 的距离为 … … ,E 到面 ACB 的距离 EO=1,VD﹣AEC=VE﹣ADC∴S△ AEC?h=S△ ADC?EO…

点评: 本题考查线面垂直, 考查点到面距离的计算, 解题的关键是掌握线面垂直的判定方法, 考查等体积的运用,属于中档题. 20.如图,已知圆 E: (x+ ) +y =16,点 F( ,0) ,P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q. (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 Γ 的方程; (Ⅱ)已知 A,B,C 是轨迹 Γ 的三个动点,A 与 B 关于原点对称,且|CA|=|CB|,问△ ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点 C 的坐标,若不存在,请说明理由.
2 2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)连结 QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ,可得 动点 Q 的轨迹 Γ 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,即可求出动点 Q 的轨迹 Γ 的方程; (Ⅱ)分类讨论,当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设斜率为 k,则直线 AB 的直线方程 为 y=kx,与椭圆方程联立,求出 A 的坐标,同理可得点 C 的坐标,进而表示出△ ABC 的面 积,利用基本不等式,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)连结 QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 故动点 Q 的轨迹 Γ 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 设其方程为 (a>b>0) ,可知 a=2, ,则 b=1, ,

所以点 Q 的轨迹 Γ 的方程为为



(Ⅱ)存在最小值. (ⅰ)当 AB 为长轴(或短轴)时,可知点 C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点) , 则 .

(ⅱ)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设斜率为 k,则直线 AB 的直线方程为 y=kx,设

点 A(xA,yA) ,

联立方程组

消去 y 得





由|CA|=|CB|,知△ ABC 是等腰三角形,O 为 AB 的中点,则 OC⊥AB,可知直线 OC 的方 程为 ,

同理可得点 C 的坐标满足



,则





则 S△ ABC=2S△ OAC=|OA|×|OC|=



由于





所以

,当且仅当 1+4k =k +4,即 k =1 时取等号.

2

2

2

综合(ⅰ) (ⅱ) ,当 k =1 时,△ ABC 的面积取最小值 ,

2

此时



,即





所以点 C 的坐标为 .







点评:本题考查椭圆的定义与方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21.已知 a∈R,函数
x

,g(x)=(lnx﹣1)e +x(其中 e 为自然对数的

底数) . (1)求函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值; (2)是否存在实数 x0∈(0,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在, 求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)讨论满足 f′(x)=0 的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,将 f(x) 的各极值与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值; (2)将曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直转化成方程 g'(x0)=0 有实数解,只 需研究导函数的最小值即可.

解答: 解: (1)∵



∴ 令 f'(x)=0,得 x=a. ①若 a≤0,则 f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数 f(x)无最小值. ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数 f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当 x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值 lna ③若 a≥e,则 f'(x)≤0,函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当 x=e 时,函数 f(x)取得最小值 . .综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 lna; 当 a≥e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 . (2)∵g(x)=(lnx﹣1)e +x,x∈(0,e], ∴g' (x) = (lnx﹣1) ′e + (lnx﹣1) (e ) ′+1= 由(1)可知,当 a=1 时, . .
x x x



此时 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ln1=0,即 当 x0∈(0,e], ∴ , , .

曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g'(x0)=0 有实数解. 而 g'(x0)>0,即方程 g'(x0)=0 无实数解. 、故不存在 x0∈(0,e],使曲线 y=g(x)在 点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直. 点评: 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值, 以及利用导数研究曲线上某点切线 方程,属于中档题. 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,PA=10,PB=5.求: (Ⅰ)⊙O 的半径; (Ⅱ)sin∠BAP 的值.

考点:与圆有关的比例线段;弦切角. 专题:选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用切割线定理,求出 BC,即可求出⊙O 的半径; (Ⅱ)证明△ PAB∽△PCA,求出 AB,BC,即可 sin∠BAP 的值. 2 解答: 解: (Ⅰ)因为 PA 为⊙O 的切线,所以 PA =PB?PC, 又由 PA=10,PB=5,所以 PC=20,BC=20﹣5=15 …. 因为 BC 为⊙O 的直径,所以⊙O 的半径为 7.5.… (Ⅱ)∵PA 为⊙O 的切线,∴∠ACB=∠PAB,… 又由∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA, ∴ …

设 AB=k,AC=2k, ∵BC 为⊙O 的直径, ∴AB⊥AC, ∴ ∴sin∠BAP=sin∠ACB= … …

点评:本题考查了切割线定理,考查三角形相似的判断与性质的运用,解题的关键是运用切 割线定理列方程求解.

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数) ,以原点 O ) =4 .

为极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin ( θ+

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标. 考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题;坐标系和参数方程. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角坐 标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设 P( cosα,sinα) ,则 P 到直线的距离为 d,运用点到直线的距离公式和两角和的 正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值. 解答: 解: (1)曲线 C1 的参数方程为 则由 sin α+cos α=1 化为
2 2

(α 为参数) ,

+y =1,

2

曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+ 即有 ρsinθcos (2)设 P( 则 d= 则当 sin( +ρcosθsin =4

)=4



,即为直线 x+y﹣8=0;

cosα,sinα) ,则 P 到直线的距离为 d, = )=1,此时 α=2k ,k 为整数, =3 . ,

P 的坐标为( , ) ,距离的最小值为

点评:本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公 式的应用,正弦函数的值域,属中档题.


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