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版高中全程复习方略配套课件:3.8正弦定理、余弦定理的应用举例


第八节

正弦定理、余弦定理的应用举例

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三年8考

高考指数:★★★

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和
几何计算有关的实际问题.

1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是 高考考查的重

点. 2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查,多属中低档题.

1.实际问题中有关概念 (1)仰角和俯角

上方 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线_____的角叫仰 下方 角,在水平线_____的角叫俯角(如图①).
视线

铅 垂 线

仰角

水平线

俯角
视线



(2)方位角
顺时针 从指北方向_______转到目标方向线的水平角,如B点的方位角

为α (如图②).
北 西

?





B



(3)方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)

①北偏东α °即由指北方向顺时针旋转α °到达目标方向.
②北偏西α °即由指北方向逆时针旋转α °到达目标方向.

③南偏西等其他方向角类似.
北 北偏东 ?? 目标

东 ③

(4)坡度 ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度

数(如图④,角θ 为坡角).
②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之

比(如图④,i为坡比).

【即时应用】 (1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的, 而方位角是相对于正北方向而言的. (2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置? 提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确

定一点的位置.

(3)如图所示,已知两座灯塔A和B与海

洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站
C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南 偏东60°,则灯塔A在灯塔B的______方向. 【解析】由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°, 又AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°. ∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°. 答案:北偏西10°

2.解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清

量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.

(3)选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、 近似计算要求.

【即时应用】 (1)已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现

测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为______km.
(2)如图,在坡度为15°的观礼

台上,某一列座位与旗杆在同
一个垂直于地面的平面上,在 该列的第一排和最后一排测得旗 杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离 为 10 6 米,则旗杆的高度为______米.

【解析】(1)如图所示,

由余弦定理可得:
AC2=100+400-2×10×20×cos120°

=700, ? AC ? 10 7(km).

(2)设旗杆高为h米,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端 为点C,则 BC= h
sin60? = 2 3 h. 3

在△ABC中, = 6,?CAB=45?,?ABC= ?, AB 10 105 所以∠ACB=30°,
2 3 h 10 6 3 , 故h=30米. 由正弦定理,得 = sin30? sin45?

答案: (1)10 7

(2)30

测量距离的问题
【方法点睛】求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三 角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在 另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便 于计算的定理.

【例1】(1)如图,为了测量河的宽度, 在一岸边选定两点A,B望对岸的标记 物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°, AB=120 m,则这条河的宽度为______. (2)隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km的 C、D两点,同时,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=

30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),则两目标A、
B之间的距离为______.

【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系

求得;(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求
得.

【规范解答】(1)如图,在△ABC中,过C作CD⊥AB于D点, 则CD为所求宽度, 在△ABC中, ∵∠CAB=30°,∠CBA=75°,

∴∠ACB=75°,∴AC=AB=120 m.
在Rt△ACD中,

CD=ACsin∠CAD=120sin30°=60(m),
因此这条河宽为60 m. 答案:60 m

(2)如图所示,在△ACD中, ∵∠ADC=30°, ∠ACD=120°, ∴∠CAD=30°,
? AC=CD= 3.

在△BDC中,
∠CBD=180°-45°-75°=60°.

由正弦定理可得 BC= 3sin75? = 6+ 2 .
sin60? 2

在△ABC中,由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,
? AB2=( 3) 2+( ? AB= 5(km). 6+ 2 2 6+ 2 ) -2 3 ? cos75?=5, 2 2

即两目标A、B间的距离为 5 km.

答案: 5 km

【反思·感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有 关的三角形中,建立一个解三角形的模型. 2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的

解.

测量高度问题 【方法点睛】高度问题的处理方法 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(视线在水平线 上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的 问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形, 这样处理起来既清楚又不容易搞错.

【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三
角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和 平面图形的结合.

【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔

顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水
平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度. 【解题指南】设出塔高x,先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和 BD用x表示;再在△BDC中用余弦定理求得x.

【规范解答】如图,设电视塔AB的高为x m,

则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x.
在Rt△ABD中,∠ADB=30°, ∴BD= 3x. 在△BDC中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°, 即( 3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°, 解得x=40,∴电视塔高为40米.

【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用

的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度
相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特 别注意高度垂直地面构成的直角三角形.

测量角度的问题
【方法点睛】测量角度问题的一般步骤

(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图
形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解. 同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解 不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.

【例3】(2012·宝鸡模拟)如图,渔船 甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处, 且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海 里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向 航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏 东α 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时

追上.
(1)求渔船甲的速度; (2)求sinα 的值.

【解题指南】先在△ABC中用余弦定理求BC,进而求出船的速 度,用正弦定理求出sinα的值或用余弦定理先求cosα,再求 sinα.

【规范解答】(1)依题意, ∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.

在△ABC中,由余弦定理,
得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784, 解得BC=28. 所以渔船甲的速度为 BC ? 14 (海里/小时).
2

(2)方法一:在△ABC中,因为AB=12,
∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α, 由正弦定理,得 AB ?
sin? BC . sin120?

即 sin? ? ABsin120? ?
BC

12 ?

3 2 ? 3 3. 28 14

答:sinα的值为 3 3 .
14

方法二:在△ABC中,因为AB=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α,
AC2 ? BC2 ? AB2 由余弦定理,得 cos? ? , 2AC ? BC
2 2 2 即 cos? ? 20 ? 28 ? 12 ? 13 .

2 ? 20 ? 28

14

因为α为锐角, 所以 sin? ? 1 ? cos 2? ? 1 ? ( ) 2 ? 答:sinα的值为 3 3 .
14
13 14 3 3 . 14

【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时,要

学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽
取主要因素,进行适当的简化.另外要准确选择恰当的三角形,

把实际问题转化到三角形中时,正确地表示出所用的边和角.

【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答 【典例】(12分)(2012·三明模拟)如图,

A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面
内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测

量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别
为75°,30°,于水面C处测得B点和D点 的仰角均为60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求B,D间的距离. 【解题指南】作出图形确定利用的三角形,(1)要充分利用仰 角和俯角与三角形中的角的关系;(2)利用正弦定理正确地解

答.

【规范解答】(1)如图,在△ADC中,∠DAC=30°,

∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km,……………………………………………4分 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴∠CED=90°, ∴CB是△CAD底边AD的中垂线,

∴BD=BA.………………………………………………………6分

(2)在△ABC中,由正弦定理得:
AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB ? AC ? sin60? ? 3 2 ? 6 (km), ……………………………8分
sin15? 20 ? BD ? 3 2? 6 (km) …………………………………………11分 20

答:B,D间的距离是 3 2 ? 6 km. …………………………12分
20

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下 失分警示与备考建议: 解答此题时有两点容易造成失分:

失 分 警 示

(1)由于角多不能正确地利用角之间的关系,特别是
三角形的外角的应用. (2)计算的失误造成失分,特别是sin15°的计算.

关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造 备 考 建 议

成失分,在备考时要高度关注:
(1)对题目所给条件不能作出相关示意图. (2)不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定 理求解.另外,对于仰角、俯角、方向角、方位角要正 确地理解和应用.

1.(2012·潍坊模拟)海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地 相距 100 3 海里,渔船B被困海面,已知B距离基地100海里,而且 在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是( )

(A)100海里
(C)100海里或200海里

(B)200海里
(D)100 3 海里

【解析】选C.设基地位于O处,根据正弦定理可知
1 OB OA sinA 3 ? ,? sinB ? ? OA ? 2 ? 100 3 ? . sinA sinB OB 100 2

∴B=60°或120°.

当B=60°时,∠BOA=90°,A=30°,
BA=2OB=200(海里),

当B=120°时,A=∠AOB=30°,
∴OB=AB=100(海里), 故渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里.

2.(2012·西安模拟)如图,货轮在海上

以35n mile/h的速度沿方位角(从正北
方向顺时针转到目标方向线的水平角) 为152°的方向航行.为了确定船位,在 B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半 小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A 的方位角为32°,则此时货轮与灯塔之间的距离为____n mile.

【解析】在△ABC中,∠ABC=152°-122°=30°, C=180°-152°+32°=60°,A=180°-30°-60°=90°,
35 BC ? n mile, 2 35 35 ? AC ? sin30? ? (n mile). 2 4 答案:35 4

3.(2012·岳阳模拟)如图,两座相距60 m 的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m, BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑 物CD的张角∠CAD的大小是______.

【解析】考查解三角形及和差角公式:tan∠ADC=
60 60 tan?DAB ? ? 3, tan?DCA ? ? 2, 20 50 ? 20

∴tan∠DAC=tan(π-∠ADC-∠DCA)
?? tan?ADC ? tan?DCA 3? 2 ?? ? 1, 1 ? tan?ADCtan?DCA 1? 3? 2

而tan∠ADC>45°,tan∠DCA>45°,∴∠DAC=45°. 答案:45°

4.(2012·六安模拟)如图,为了解某
海域海底构造,在海平面内一条直线 上的A,B,C三点进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深 AD=80 m,于B处测得水深BE=200 m, 于C处测得水深CF=110 m,求∠DEF的余弦值.

【解析】作DM∥AC交BE于点N,交CF于点M.

DF ? MF2 ? DM 2 ? 302 ? 1702 ? 10 298, DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ? 1202 ? 130, EF ? (BE ? FC) 2 ? BC2 ? 902 ? 1202 ? 150.

在△DEF中,由余弦定理得
DE 2 ? EF2 ? DF2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 cos∠DEF ? ? ? . 2DE ? EF 2 ? 130 ? 150 65


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