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二〇一四高二数学必修5数列单元测试题及解析


二〇一四高二数学必修 5 数列单元测试题及解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.Sn 是数列{an}的前 n 项和,log2Sn=n(n=1,2,3,…),那么数列{an}( A.是公比为 2 的等比数列 B.是公差为 2 的等差数列 1 C.是公比为 的等比数列 2 D.既非等

差数列也非等比数列 解析 由 log2Sn=n,得 Sn=2n,a1=S1=2,a2=S2-S1=22-2=2,a3=S3-S2=23-22=4,… )

由此可知,数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D )

2.一个数列{an},其中 a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则 a5=( A.6 C.-12 解析 B.-3 D.-6

a3=a2-a1=6-3=3,

a4=a3-a2=3-6=-3, a5=a4-a3=-3-3=-6.
答案 D )

3.首项为 a 的数列{an}既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前 n 项和为( A.an-1 C.an 解析 答案 B.na D.(n-1)a 由题意,知 an=a(a≠0),∴Sn=na. B

4.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项和为( A.63 C.127 解析 B.64 D.128

)

a5=a1q4=q4=16,∴q=2.

1-27 ∴S7= =128-1=127. 1-2 答案 C
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5.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)的值等于( ) A.-8 C.- 解析 9 8 B.8 D. 9 8

a2-a1=

-1- 3



8 = , 3

b2 2=(-1)×(-9)=9,∴b2=-3,
8 ∴b2(a2-a1)=-3× =-8. 3 答案 A )

6.在-12 和 8 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-10 的等差数列,则 n 的值为( A.2 C.4 解析 依题意,得-10= B.3 D.5 -12+8 (n+2), 2

∴n=3. 答案 B )

7.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为( A.4 C.-4
1

B.

1 4 1 4

D.-

解析

?a +3d=15, 由 a =15,S =55,得? 5×4 5a + d=55. 2 ?
4 5 1

?a1=3, 解得? ?d=4. ∴a3=a4-d=11.∴P(3,11),Q(4,15).kPQ= 答案 A ) 15-11 =4. 4-3

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19=( A.55 B.95
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C.100 解析 答案

D.190

S19=
B

a1+a19
2

×19=

a3+a17
2

×19=

10 ×19=95. 2

9.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a4+a15 是一个确定的常数,则在数列{Sn}中也是确定常 数的项是( ) A.S7 C.S13 解析 ∴S13= 答案 B.S4 D.S16

a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7,∴a7 为常数. a1+a13
2 C ) ×13=13a7 为常数.

10.等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62,则通项是( A.2n-1 C.2n+1 解析 B.2n D.2n+2 ∵a2+a3+a4+a5+a6=q(a1+a2+a3+a4+a5),

∴62=q×31,∴q=2.∴S5= ∴a1=1,∴an=2n-1. 答案 A

a1

-25 1-2

=31.

11. 已知等差数列{an}中, |a3|=|a9|, 公差 d<0, 则使其前 n 项和 Sn 取得最大值的自然数 n 是( A.4 或 5 C.6 或 7 解析 由 d<0 知,{an}是递减数列, B.5 或 6 D.不存在

)

∵|a3|=|a9|,∴a3=-a9,即 a3+a9=0. 又 2a6=a3+a9=0,∴a6=0. ∴S5=S6 且最大. 答案 B )

12.若 a,b,c 成等比数列,则方程 ax2+bx+c=0( A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根

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D.无法确定 解析

a,b,c 成等比数列,∴b2=ac>0.

而 Δ =b2-4ac=ac-4ac=-3ac<0. ∴方程 ax2+bx+c=0 无实数根. 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.2,x,y,z,18 成等比数列,则 x=________. 解析 答案 设公比为 q,则由 2,x,y,z,18 成等比数列.得 18=2q4,∴q=± 3.∴x=2q=±2 3. ±2 3 6 且 a1= ,则 a2013=________. 7

?2an,0≤an≤1, 14.若数列{an}满足 an+1=? ?an-1,an>1, 解析 答案

6 12 5 10 3 6 12 5 由题意,得 a1= ,a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,a6= ,a7= ,…,∴a2013=a3= . 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7

15.一个数列的前 n 项和为 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n+1n,则 S17+S33+S50=____________. 解析 答案

S17=-8+17=9,S33=-16+33=17,S50=-25,∴S17+S33+S50=1.
1

1 S4 16.设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 =________. 2 a4 ?1? ? S4 ?2? ? = =15. a4 ? 1? ?1?3 ?1- ?a1? ? ? 2? ?2?

a1?1-? ?4?

解析

? ?

答案

15

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 解
2 (1)令 n=1,得 2a1-a1=a2 1,即 a1=a1,∵a1≠0,

∴a1=1,令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2. 当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,2an-1=Sn-1
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两式相减得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1, 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 即 an=2n-1. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)由(1)知,nan=n·2n-1. 记数列{n·2n-1}的前 n 项和为 Bn,于是

Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.② ①-②得 -Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n. 从而 Bn=1+(n-1)·2n. 18.(12 分)已知等比数列{an},首项为 81,数列{bn}满足 bn=log3an,其前 n 项和为 Sn. (1)证明{bn}为等差数列; (2)若 S11≠S12,且 S11 最大,求{bn}的公差 d 的范围. 解 (1)证明:设{an}的公比为 q,

则 a1=81,

an+1 =q,由 an>0,可知 q>0, an an+1 =log3q(为常数), an

∵bn+1-bn=log3an+1-log3an=log3

∴{bn}是公差为 log3q 的等差数列. (2)由(1)知,b1=log3a1=log381=4, ∵S11≠S12,且 S11 最大, ?b11≥0, ∴? ?b12<0,
1

?b1+10d≥0, 即? ?b1+11d<0.

-b 2 ? ?d≥ 10 =-5, ? b 4 d<- =- . ? ? 11 11
1

2 4 ∴- ≤d<- . 5 11 19.(12 分)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且

b2S2=64,b3S3=960.
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(1)求 an 与 bn; 1 1 1 3 (2)证明: + +…+ < . S1 S2 Sn 4 解 有 6 ? d =- , ? 5 或? 40 q= , ? ? 3 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d>0,q≠0,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依题意

?b2S2= ? ?b3S3=

+d +3d

q=64, q =960.
2

?d=2, 解得? ?q=8,

(舍去).

故 an=2n+1,bn=8n-1. (2)证明:由(1)知 Sn= 1 = 1 n+ 3+2n+1 ×n=n(n+2), 2

Sn n

1 ? 1?1 ?, = ? - 2?n n+2? 1

1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ = + + +…+ S1 S2 Sn 1×3 2×4 3×5 n 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? = ?1- + - + - +…+ - 3 2 4 3 5 n n+2? 2? 1 1 1 ? 1? - ? = ?1+ - 2 n+1 n+2? 2? 3 = - 4 ∵ 2n+3

n+

n+
2n+3 n+ n+

n+
>0

1 1 1 3 ∴ + +…+ < . S1 S2 Sn 4 20.(12 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 解 (1)设{an}的公比为 q,由已知,得 16=2q3,解得

q=2,
∴an=a1qn-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32.
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?b1+2d=8, 设{bn}的公差为 d,则有? ?b1+4d=32, 从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前 n 项 和 Sn=

?b1=-16, 解得? ?d=12.

n -16+12n-
2

=6n2-22n.

21.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3, n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1.∴an=4n-1(n∈N*). 由 an=4log2bn+3=4n-1,得 bn=2n-1(n∈N*). (2)由(1)知 an·bn=(4n-1)·2n-1,n∈N*, ∴Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)×2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)×2n-1+(4n-1)×2n. ∴2Tn-Tn=(4n-1)×2n-[3+4(2+22+…+2n-1]=(4n-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5. 22.(12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an-2an-1-2n-1=0(n∈N*,n≥2). (1)求证:数列{ n}是等差数列; 2 (2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 解

an

an an-1 1 (1)∵an-2an-1-2n-1=0,∴ n- n-1= , 2 2 2

an 1 1 ∴{ n}是以 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 2 an 1 1 (2)由(1),得 n= +(n-1)× , 2 2 2
∴an=n·2n-1, ∴Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1① 则 2Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n② ①-②,得
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-Sn=1+2 +2 +…+2 ∴Sn=(n-1)·2n+1.

1

2

n-1

-n·2 =

n

-2 1-2

n

-n·2n=2n-1-n·2n,

======*以上是由明师教育编辑整理======

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