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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第二节 函数的概念及其表示法课件(理) 北师大版必修1


第二节

函数的概念及其表示法

1.函数的基本概念 (1)函数的概念:设A、B是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 ,记作 y=f(x),x∈A .其 中,x叫做 自变量 ,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y 值叫做 函数值 ,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ,显然,值域是 集合B的 子集 .

(1)A、B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.
(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词. (3)注意f(x)与f(a)的区别,f(a)表示当x=a时的函数值,是一个常量;而f(x)是关 于x的函数,一般情况下是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值. (2)函数的构成要素为: 定义域 、 对应关系 和 值域 .由于值域是由定义 域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完

全一致,我们就称这两个函数 相等 .
(3)函数的表示法有 解析法 、图象法 、列表法 .

函数的三种表示法的优、缺点对照表:

表示 法

优点

缺点

一是简明、全面地概括了 变量间的关系;二是可以 不够形象、直观、具体, 解析 通过解析式求出任意一个 而且并不是所有的函数都 法 自变量的值所对应的函数 能用解析式表示出来 值 只能近似地求出自变量的 图象 能形象直观地表示出函数 值所对应的函数值,而且 法 的变化情况 有时误差较大 不需要计算就可以直接看 列表 它只能表示自变量取较小 出与自变量的值相对应的 法 的有限值的对应关系 函数值

若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数? 【提示】 不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全

相同,但不是相等函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,
值域都为[-1,1],显然不是相等函数.因此判断两个函数是否相等, 关键是看定义域和对应关系.

2.映射 (1)两个集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的 每一个元素x ,

B中总有 唯一的一个元素y 与它对应,就称这种对应为从A到B的 映射 ,
记作: f:A→B .A中的元素x称为 原象 ,B中的对应元素y称为x

的 象 ,记作 f:x→y .

(2)设A,B是两个非空 数集 ,f是A到B的一个 映射 ,那么映射f:
A→B就叫做A到B的函数.

理解映射的概念要注意以下几点: (1)映射由三要素组成,集合A、B 以及A到B的对应关系f,集合A,B可以 是数集,也可以是点集或其他集合. (2)A中每一个元素都可以在B中找到一个且只有一个元素和它对应. (3)A中的不同元素允许对应B中的相同元素,即映射允许“多对一”、“一 对一”,但不允许“一对多”. (4)B中的元素可以在A中没有元素和它对应.

映射与函数的对比

映射 函数 相同 对于f:A→B,都是A中每一元素都能在B中找到唯一 点 元素与之对应 A、B可为数集、点集及其他集 A、B必须为非空数 合 集 作为A到B的函数, 不 作为A到B的映射,A为原象集 A为定义域,B不一 同 合,C为象集合(C?B) 定为函数的值域 点 三要素:对应关系、原象集合、 三要素:对应关系、 象集合(C?B) 定义域与值域
总之,函数是特殊的映射,当A、B是非空数集时,f:A→B的映射即为 A到B的函数.

1.(2009年福建卷)下列函数中,与函数y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 【解析】 ∵y= ∞).f(x)= B.f(x)= D.f(x)=ex

有相同定义域的是( )

定义域为(0,+∞),f(x)=ln x定义域为(0,+

定义域为{x|x≠0}.

f(x)=|x|定义域为R.f(x)=ex定义域为R,故选A. 【答案】 A

2.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},给出下列四个图形(如图所示),其中 能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )

A.0个 C.2个 【解析】

B.1个 D.3个 根据函数定义:对于M中的任意一个x在N中都有唯一确定的y与

之对应.因此,②③都表示从M到N的函数关系. 【答案】 C

3.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射,则下面说法错

误的是(

)

A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素 B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素,则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能没有对应元素 【解析】 由映射概念可知,A中元素在B中必有惟一元素与它对应,B

中元素在A中可以没有对应关系,即从A到B的对应关系可以是一对一,多 对一,但不可以是一对多. 【答案】 B

4.(2009年北京卷)已知函数f(x)=

若f(x)=2,则x= ___.

【解析】 当x≤1时,3x=2,∴x=log32;

当x>1时,-x=2,∴x=-2(舍去).

【答案】 log32

5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出

x

1 2 3

x g(x)

1 3

2 2

3 1

f(x) 1 3 1

则f[g(1)]的值为________;满足f [g(x)]>g[f(x)]的x的值是________. 【解析】 f [g(1)]=f(3)=1.

x f[g(x)] g[f(x)]

1 1 3

2 3 1

3 1 3

故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x=2,故填2. 【答案】 1 2

函数的基本概念 下列从M到N的各对应法则fi(i=1,2,3,4)中,哪些是映射?哪些是函数 ?哪些不是映射?为什么? (1)M={直线Ax+By+C=0},N=R,f1:求直线Ax+By+C=0的斜率; (2)M={直线Ax+By+C=0},N={α|0≤α<π},f2:求直线Ax+By+C=0 的倾斜角; (3)M=N={x|x≥0},f4:求M中每个元素的算术平方根.

【思路点拨】 函数是一种特殊的映射,特殊之处在于两个集合M、N都
是非空数集.但它们都有共同特点M中元素在N中存在唯一元素与之对应.

【解析】

(1)当B=0时,直线Ax+C=0的斜率不存在.此时N中不存在与

之对应的元素,故f1不是从M到N的映射,也就不是函数了. (2)对于M中任一元素Ax+By+C=0,该直线恒有唯一确定的倾斜角α,且

α∈[0,π),故f2是从M到N的映射.但由于M不是数集,从而f2不是从M到N的
函数. (3)对于M中任一非负数,其算术平方根唯一确定,故f4是从M到N的映射. 又M、N均为非空数集,所以f4是从M到N上的函数.

函数的表示法

已知某人在2005年1月份至6月份的月经济收入如下:1月份为1 000 元,从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍,用列表、图象、解析

式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的
函数关系,并指出该函数的定义域、值域和对应法则.

【解析】

列表:

x y
图象:

1

2

3

4

5

6

1 000 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000

解析式:y=1 000· 2x-1(x∈{1,2,3,4,5,6}). 其中定义域为{1,2,3,4,5,6},值域为{1000,2000,4000,8000, 16000,32000}. 对应法则f:x→y=1 000· 2x-1.

列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法,其实质是
一样的,只是形式上的区别,列表和图象更加直观,解析式更适合计算和 应用.在对待不同题目时,选择不同的表示方法,因为有的函数根本写不

出其解析式.

1.如下图①所示是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义;
(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图 ②③所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)图①、②中的票价是多少元?图③中的票价是多少元? (4)此问题中直线斜率的实际意义是什么?

【解析】 (1)点A表示无人乘车时收入差额为-20元,点B表示有
10人乘车时收入差额为0元,线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的 点表示赢利.

(2)图②的建议是降低成本,票价不变,图③的建议是增加票价.
(3)图①②中的票价是2元.图③中的票价是4元. (4)斜率表示票价.

求函数的解析式

给出下列两个条件:(1)f(

+1)=x+2



(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.

试分别求出f(x)的解析式.

【解析】 (1)令t= ∴t≥1,x=(t-1)2.

+1,

则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,

则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x2-x+3.

求函数解析式的常用方法有:(1)代入法,用g(x)代入f(x)中

的x,即得到f [g(x)]的解析式;(2)拼凑法,对f [g(x)]的解析式进行拼凑
变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边的所有“g(x)”即可; (3)换元法,设t=g(x),解出x,代入f [g(x)],得f(t)的解析式即可;(4)

待定系数法,若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特
殊值,确定相关的系数即可;(5)赋值法,给变量赋予某些特殊值,从 而求出解析式.

2.(1)已知f

=x2-2,求f(x)的解析式;

(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;

【解析】

1 1 (1)设 =t(t≠0),则 x= , x t

?1? 2 ∴f(t)= ? ? -2, ? t?

1-2t2 1 ∴f(t)= 2-2= 2 , t t 1-2x2 即 f(x)= (x≠0). x2

(2)设f(x)=ax+b(a≠0),

则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+5a+b, 即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立.

∴f(x)=2x+7.

高考考查内容是映射和函数的概念,已知函数解析式求函数值,求
函数解析式以及相关的方程和不等式等问题,对分段函数的相关问题 要引起足够的重视.其试题难度较小,多以选择、填空题出现.

1.(2009年山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(3)的值为( A.-1 C.1 ) B.-2 D.2

【解析】

∵f(3)=f(2)-f(1),又f(2)=f(1)-f(0),

∴f(3)=-f(0),∴f(0)=log24=2.∴f(3)=-2. 【答案】 B

2.(2008年安徽卷) 图中的图象所表示的函数的解析式为(

)

【解析】 【答案】

将x=0代入选项排除A、C,将x=1代入选项排除D.故选B. B

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