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中山市2011届高三数学模拟试题(理科,纪念中学)2


2011 年普通高等学校招生全国统一考试模拟 数学(广东卷理科) 命题单位:中山纪念中学
考试说明:本试卷共 21 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚; 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写,字体工整,字迹清楚; 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作

答, 超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸、试题卷上答题无效; 4.保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 台体体积公式 V ?

1 h( S ? SS ? ? S ?) h 是台体的高, S、S ? 分别是台体的下底 3

面面积和上底面面积.

一.选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分,每题只有一个选项符合要求)
2 2 2 1. P ? y y ? x , Q ? x x ? y ? 2 ,则 P ? Q ?

?

?

?

?





A. [0, 2 ] C. 0, 2

B. ?(1,1), (?1,1)? D. [? 2 , 2 ]
1
2

?

?
?1

2. 函数 y ? ( ) x A、 (??,1)

1 2

的值域为 B、 ( ,1)

( C、 [ ,1)

)

1 2

1 2

D、 [ , ??)
y
2

1 2

3.已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) 一个周期的图象(如图) ,则这个函数的一个解析式为( A. y ? 2sin( x ? C. y ? 2sin(3 x ? )

3 2

?
2 )

)

B. y ? 2sin(3 x ? D. y ? 2sin(3 x ?

? ?
6 2

) )

0
?2

?
6

? 3

? 2

x

4.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,下列不等式中,一定成立的是 (

)

( ? ) ? 1. ① log2 a ? ?1 ;② log2 a ? log2 b ? ?2 ;③ log2 (b ? a) ? 0 ;④ log 2
A. ①②
3

b a

a b

B. ②③
2

C. ③④

D. ①④ ( )

5.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ,下列结论中正确的是

A. x ? 1 是函数 f ( x ) 的极小值点, x ? 0 是极大值点
1

B. x ? 1 及 x ? 0 均是 f ( x ) 的极大值点 C. x ? 1 是函数 f ( x ) 的极小值点,函数 f ( x ) 无极大值 D.函数 f ( x ) 无极值 6.小球 A 在右图所示的通道由上到下随机地滑动,最后在下面某个出口落出,则投放一个小 球,从“出口 3”落出的概率为 ( ) A

1 5 3 C. 16 A.

B.

1 4 3 D. 8

1

2

3

4

5

7.过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F 作倾斜角为 60? 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,则 4 3
( )

1 1 ? ? | AF | | BF |
A.

4 3

B.

3 4

C.

3 5

D.

5 3

8.如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 ( ) A1 D.

D1 B1 ·O D A B

C1

A.

? 6

B.

? 3

C.

6 ? 6

3 ? 3

C

二.填空题(本大题共 7 个小题,考生作答 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)
(一)必做题 (9 ? 13) 9.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) 图象如图,
2

求阴影部分面积是________________________.

2

10.已知点 P( x, y) 满足 x 2 ? y 2 ? 1, A(4, 9), B(2, ?1) ,则 AP ? BP 的取值范围是 __________. 11.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是______________ cm .
正视图 2 侧视图
3

2

2 俯视图

12. 若 x ? 0 ,则方程 ?2 sin x? ? [ x] (其中 x 以弧度为单位,[ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 如? 1.2? ?1 , ?? 2.3? ? ?3 )的解集为________________________. 13.如图所示,在 ?OAB 中, M 、N 分别是 OA、OB 的中点, 点 P 在梯形 ABNM 区域(含边界)上移动,且

O M P A B

??? ? ???? ? ???? OP ? xOM ? yON ,则 4 x ? 3 y 的取值范围是__________.

N

(二)选做题 (14,15 题,考生只能从中选做一题 )

? π ) ? 2 ,则点 A(2, ) 到直线的距离为 3 6 15. 如图, PC、DA 是 ? O 的切线,AB 为 ? O 的直径, C
14.已知直线的极坐标方程为 ρ cos( θ ? 若 DA ? 2, CD : DP ? 1: 2 ,则 AB ? ________ .
B O A 2 D 4



P 2 3

3

三.解答题(本大题共 6 个小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R.

(1)若函数 h( x) ? f ( x ? t )的图象关于点 (? (2)设 p : x ? [

?
6

,0)对称, 且t ? (0, ? ), 求t 的值;

? ?

, ], q :| f ( x) ? m |? 3, 若p是q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 4 2

17. (本小题满分 12 分) 在等腰梯形 ABCD 中,O 、O1 分别是 AB, CD 中点,DC ? 2 , AB=4, AD=BC= 2 . 沿 OO1 将梯形 ABCD 折起,使得 ?AOB ? 120 , M 为 OB 中点,如图.
?

(1)求几何体 ABO ? DCO1 的体积; (2)求异面直线 AM 与 BC 所成的角; (3) 求二面角 A ? BC ? O 的正切值.
O1 D O1 C D M O A O B A B C

4

18. (本小题满分 14 分) 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制, 当第一次烧制合格后方可竟如第二次烧制,两次烧制过程相互独立。根据该厂现有的技 术水品,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品的合格率依次为 0.5,0.6,0.4 .经过 第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品的合格率依次为 0.6,0.5,0.75 . (Ⅰ)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (Ⅱ)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及期望.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F(1,0), C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原 点,过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出抛物线 C2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM ?

???? ?

1 ???? MB ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求 椭圆 C1 的长轴长的最小值.

5

20. (本小题满分 14 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d (a, b, c, d ? R) 的图像关于原点对 称,且 x ? 1 时, f ( x ) 取得极小值 ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [?1, 1] 时,函数图像上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?证明 你的结论; (3)设 x1 , x1 ?[?1,1] 时,求证:| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

2 . 5

4 . 5

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? ? , a n ?1 ? ⑴ 若 ? ? ?3 ,求 a2 、 a3 ; ⑵ 对 ?? ? R ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; ⑶ 若 ? ? 12 ? 0 ,讨论 ?S n ? 的最小项.

2 a n ? n ? 2 ,其中 ? ? R 是常数, n ? N ? . 3

6

答案: 一. ACDCC DAA 二 .

9.

27 4 3 10.[?10,10] 11. 4 3
2

12.[0, ) ? [1, ) ? ( , 2) 13.[3,8] 14. 2 15. 4 3 6 2 2
? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos(

?

?

?

16.解: (1) f ( x) ? 2 sin (

?
4

?
2

? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1

?sin 2x ? 3 c o s 2 x ? 2 s i n2 (x ?

?
3

)

??????2 分

? h( x) ? f ( x ? t ) ? 2 sin(2 x ? 2t ?

?
3

),

k? ? ? h( x)的 图 象 的 对 称 中 心 ( 为 ? ? t ,0), k ? Z . ????? 4分 2 6 又已知点 (? ?t ?

?
6

,0)为h( x)的 图 象 的 一 个 对 称 ,中 心

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

而 t ? (0, ? ),? t ?

?
3



(2)若 p成立 , 即x ? [

? ?

? ? 2? , ]时,2 x ? ? [ , ], f ( x) ? [1,2], ????8 分 4 2 3 6 3
??????9 分

5? . 6

??????6 分

由 | f ( x) ? m |? 3 ? m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3,

?m ? 3 ? 1 ? p是q的充分条件 ,? ? , 解得 ? 1 ? m ? 4, ?m ? 3 ? 2
即 m 的取值范围是(—1,4). ??????12 分

17(1)解: OO1 ? 1 , 几何体 ABO ? DCO1 为三棱台,

z

1 3 3 7 ?VABO ? DCO1 ? ?1? [ ? 3? ]? 3 ??? 3 4 4 12
??(4 分) (2)解:如图建立空间直角坐标系, 则 AM ? (0,1,0) ? ( 3, ?1,0) ? (? 3, 2,0)
O1 D H O M C

???? ?

B y

A
7

K

x

??? ? BC ? (0,1,1) ? (0, 2,0) ? (0, ?1,1)
设异面直线 AM 与 BC 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

2 14 ???(8 分) ? 7 7? 2

(3)解:设 AB 交 Ox 轴于 K ,连 KC ,则 KO ? OB, OC ? BC ??OCK 为所求二面角的平

2 3 ? 6 .??(12 分) 面角, ? tan ?OCK ? 3 2

18 解: (Ⅰ)分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1 , A2 , A3 ; 设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则:

P( E ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 )
? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.38
(Ⅱ)分别记甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件为 A、B、C,则

(3 分) (6 分)

P ( A) ? P ( B) ? P (C ) ? 0.3 ,
所以 P(? ? 0) ? (1 ? 0.3) ? 0.343 ,
3

P(? ? 1) ? 3? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441, P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189, P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
所以 ? 的分布列为: (10 分)

?
P

0

1 0.441

2 0.189

3 0.027

0.343

于是, E? ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .
2

(14 分)

19 解:(1)由题意,抛物线 C2 的方程为: y ? 4 x --------------4 分
8

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 4),(k 存在且k ? 0) 由?

? y ? k ( x ? 4) 2 ? y ? 4x

消去 x 得: ky 2 ? 4 y ?16k ? 0 ,显然 ? ? 16 ? 64k ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
2

???? ? 1 ???? 4 1 ; y1 y2 ? ?16 ;又 AM ? MB ,所以 y1 ? y2 , k 2 2

由上述三式解得: k ? 2 ,故直线 l 方程为: y ? 2x ? 4 2或y ? ? 2x ? 4 2 -----9 分 (3)设 P (m, n), 则OP的中点(

m n , ),因为 O, P 关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称, 2 2

m ? 8k 2 ?n ? k ( ? 4) m ? ? ? ?2 ? 2 1? k 2 , 所以 ? ,解得 ? ? n ? k ? ?1 ?n ? ? 8k ? ? ? m 1? k 2 ?
将其代入抛物线方程得: (?

8k 2 8k 2 ) ? 4 , 所以k 2 ? 1 --------12 分 1? k 2 1? k 2

? y ? k ( x ? 4) ? 联列 ? x 2 y 2 消去y得:(b2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 16a 2 k 2 ? a 2b 2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
由 ? ? 0, 得a k ? b ? 16k , 把k ? 1 ,b ? a -1代入并化简得:2a ? 17
2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 ,所以椭圆 C1 的长轴长的最小值为 34 --14 分 2

20 解: (1)∵函数 f(x)的图像关于原点对对称∴ f (0) ? 0 得 d ? 0 ,又 f (?1) ? f (1) ,

?a ? 2b ? c ? ?a ? 2b ? c 得 b ? 0 f ( x) ? ax3 ? cx , f ?( x) ? 3ax2 ? c , ( ) ?? 由 f1
及 f ?(1) ? 0 得 3a ? c ? 0

2 5

且a ?c ? ?

2 1 解得 a ? , 5 5

c??

3 5

∴ f ( x) ?

1 3 3 x ? x ----4 分 5 5

(2)当 x ? [?1, 1] 时,函数图像上不存这样的两点使得结论成立。

9

假设图象上存在两点 A,B 使得过此两点的切线互相垂直,则由 f ?( x) ?

3 2 ( x ? 1) , 5

知斜率 k1 ?

3 2 3 2 3 3 2 ( x1 ? 1) , k2 ? ( x2 ? 1) 且 ( x12 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ?1 , 5 5 5 5
2

即 ( ) ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ?1
2 2

3 5

2 2 2 ∵ x ? [?1, 1] ∴ ( x1 ?1) ? 0 , ( x2 ?1) ? 0 ∴ ( x12 ?1) ? ( x2 ?1) ? 0 因此上式矛盾!故假设不

成立。-----------------------------------------------------9 分 (3)证明: f ?( x) ?

3 2 ( x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 得 x=±1 ∴ x ∈(-∞,-1)或 5

x ∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,x∈[-1,1]时, f ?( x) ? 0 ∴ f ( x) 在[-1,1]上是减函数,
f max ( x) ? f (?1) ? 2 2 4 ; f min ( x) ? f (1) ? ? ,| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( ?1) ? f (1) |? 5 5 5

--------------------------------------14 分

21 解:⑴ a1 ? ?3 , a 2 ?

2 2 a1 ? (1 ? 2) ? ?3 , a3 ? a 2 ? (2 ? 2) ? ?2 .--------2 分 3 3

⑵设 bn ? an ? ?n ? ? , ? 、 ? ? R 是常数,代入得

2 ? ?? ? ? ? ?1 ? 2 ? 3 bn ?1 ? ? (n ? 1) ? ? ? (bn ? ?n ? ? ) ? n ? 2 ,解 ? , 2 3 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ?
得?

?? ? ?3 2 ,即 bn ? an ? 3n ? 15 , bn ?1 ? bn 3 ?? ? 15

--------------------------------------5 分.

若 ? ? ?12 , 则 ?bn ? 是首项为 b1 ? ? ? 12 ? 0 、 公比为 q ? 前 n 项 和 Tn ?

2 的等比数列, 所以 ?bn ? 的 3

b1 (1 ? q n ) 2 ? 3(? ? 12)[1 ? ( ) n ] , 数 列 ?3n ? 15? 的 前 n 项 和 为 1? q 3

(3n ? 15) ? (3 ? 15) n(3n ? 27 ) 2 n n(3n ? 27 ) ?n ? ,所以 S n ? 3(? ? 12)[1 ? ( ) ] ? 2 2 3 2
若 ? ? ?12 ,则 bn ? 0 , an ? 3n ? 15 , S n ?

n(3n ? 27 ) 2

10

综上所述, ?? ? R , S n ? 3(? ? 12)[1 ? ( ) ] ?
n

2 3

n(3n ? 27 ) ----------------9 分 2

⑶ a n ? (? ? 12)( )

2 3

n ?1

2 3 ? 3n ? 15 ? ( ) n ?1 [( ? ? 12) ? ( ) n ?1 (3n ? 15)] , 3 2

a1 ? ? , a 2 ?

2 3 4 3 8 15 (? ? ) , a 3 ? ( ? ? ) , a 4 ? (? ? ) , 3 2 9 2 27 8

当 n ? 5 时 an ? 0 所以,当 ? ? 当? ? 当?

3 ? 时, ?n ? N 有 an ? 0 , ?S n ? 的最小项是 S1 ; 2

3 时, ?S n ? 的最小项是 S1 、 S 2 和 S 3 ; 2

15 3 ? ? ? 时, ?S n ? 的最小项是 S 3 ; 8 2 15 时, ?S n ? 的最小项是 S 3 和 S 4 ; 8 15 时, ?S n ? 的最小项是 S 4 .----------------------14 分 8

当? ? ?

当 ? 12 ? ? ? ?

11


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