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7.2.2等差数列(二)课件


第七章 数列

问题思考
思考:

这一共有多少钢管呢?这个问题又该如何解
决?

问题思考
思考:

这各层的钢管数可看作一个 a1 ? 4, d ? 1, n ? 7 的等差数列,利用 an ? 4 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 3 可以很快捷 地求出每一层的钢管数。

高斯的故事
200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题: 1+2+3+4+5+...+100=? 据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101×50=5050

高斯的故事

? S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 98 ? 99 ? 100 ? ? S ? 100 ? 99 ? 98 ? ? ? 3 ? 2 ? 1

2S ? ?1 ? 100 ? ? ? 2 ? 99 ? ? ?3 ? 98 ? ? ?? ?99 ? 2 ? ? ?100 ?1? 2S ? 100 ? ?1 ? 100 ? S ? 50 ? ?1 ? 100?

问题思考
思考:

对于一般的等差数列,又该如何去求它的前n项 和?

7.2 等差数列(二)

问题思考
例如:S=1+2+ …+n

问题思考

? ? S ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? ? ? S ? n ? ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 1

2S ? ?1 ? n ? ? ? 2 ? n ? 1? ? ? ? ? n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1?

2S ? n ? ? n ? 1?

S?

n ? ? n ? 1? 2

问题思考
例如: Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an

问题思考
法一:

? S ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ? ? S ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1

2S ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? ? ? ? an?1 ? 2? ? ? an ? a1 ? 2S ? n ? a1 ? an ?

S?
倒序相加法

n ? a1 ? an ? 2

知识讲解
一、等差数列的前n项和 (1)公式一
Sn ? n ? a1 ? an ? 2

知识讲解
法二:
Sn ? a1 ? ? a1 ? d ? ? ? ? ? ?a1 ? ? n ? 1? d ? ? Sn ? an ? ? an ? d ? ? ? ? ? ?an ? ? n ? 1? d ? ? ① ②

由①+②得到

Sn ?

n ? a1 ? an ? 2

知识讲解
(2)公式二: 将 an ? a1 ? ? n ? 1? d 代入 Sn ?
Sn ? na1 ?

n ? a1 ? an ? 2
d

,得到

n ? n ? 1? 2

综上
Sn ? n ? a1 ? an ? 2 ? na1 ? n ? n ? 1? 2 d

例题讲解
例7 已知等差数列 ?an ? 中, (1)a1 ? 50, a8 ? 15 ,求 S 8

(2)a1 ? 0.7, a2 ? 1.5 ,求 S 7

例题讲解
例8 已知一个等差数列的前10项和 S10 ? 310,前20

项的和 S 20 ? 1220,由此可以确定其前n项和 S n 的公

式吗?

例题讲解
例9 已知数列 ?an ? 的前n项和为 Sn ? n2 ? 2n (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

?an ? 是等差数列。 (2)求证:

例题讲解
二、等差数列的性质 当d≠0时,数列的前n项和 S n 是关于n的一元二次

函数
S n ? na1 ? n ? n ? 1? 2 d 2 ? d? d ? n ? ? a1 ? ? n 2 2? ?

巩固练习
练习7.2(4) P19

拓展训练
1、等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54?

拓展训练
2、已知数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前n项和, (1)证明: S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 成等差数列;
* (2)设 k ? N , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等差数列吗?

知识总结
二、等差数列的性质: 已知数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前n项和.
* 设 k ? N , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等差数列

知识总结
1、等差数列的前n项和公式:
n ? a1 ? an ? 2 n ? n ? 1? 2

Sn ?

? na1 ?

d

知识总结
2、等差数列的性质( S n 是数列的前n项和): ①当d≠0时, S n 是关于n的一元二次函数

②设 k ? N * , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等差数列


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