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一元二次方程的根的分布


零点 :对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 剖析概念,你能得出什么结论吗?

结论:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实
数根。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

想一想,怎样求函数的零点呢?
求函数的零点有两种方法: ①代数法:求方程f(x)=0的实数根; ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联 系起来,并利用函数的性质找出零点。

连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得 f(c )=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,是否 一定有f(a)· f(b)<0?

一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二 次函数 y= ax2+bx+c (a≠0)的图象有如下关系:
判别式 ?=b2-4ac

?>0
y

??0
y

?<0
y

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根

x1

x2

x

x1=x2

x

x

有两个不等的 实数根x1,x2 (x1,0), (x2,0)

有两个相等实 数根x1=x2 (x1,0)

没有实数根

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 的交点

没有交点

一元二次方程根的分布
考虑:a>0的一元二次方程,当二次项 系数小于0时,先化为正。 强调:把一元二次方程化为标准形式: ax2+bx+c=0 (a>0)

? ? ?
? ? ? ? ? ?

一元二次方程根的分布1:零分布 (1)有两正根 (2)有两负根 (3)一正一负 一元二次方程根的分布2:k分布 (1)有两个大于k的根 (2)有两个小于k的根 (3)一个大于k,一个小于k (4)有一个根在区间(k1,k2)内 (5)区间(k1,k2)内有两个根 小结3:数形结合思想

情形1 : 方程根的零分布
结论1? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a?0)有两个正根.
? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? x1 ? 0 ? ? ? b ? ? x 2 ? 0? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a ? c ? y ? x1 x 2 ? ? 0 a ?
a?0
c?0 O x1
?

? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? b ?0 ?? ? 2a ? ? f (0) ? c ? 0

??0

x2
b ?0 2a

x

结论2? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a?0)有两个负根.
x1 ? 0 ? ?? x 2 ? 0?
? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? ? b ? x ? x ? ? ?0? ? 1 2 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?
a?0

? ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? b ?? ?0 ? 2a

y

c?0 ??0 x1
? b ?0 2a

x2 O

x

结论3? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两异号根.
?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?a ? 0 x1 ? 0 ? ? ? ? ??? c x2 ? 0? ? x1 x2 ? ? 0 ? f (0) ? c ? 0 a ?
a ? 0 ? ? 0 x1 x

y

2

O
c ? 0

x

结论4? 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a〉 0)有一根为零?
2

一根非零.
y
a?0 O
x1
? b ?0 2a
x1

y
a?0

x2

x

O

x2
? b ?0 2a

x

x1 ? 0, x2 ? 0

x1 ? 0, x2 ? 0

情形2: 方程根的k分布
结论1? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两个大于
2 ? ? ? b ? 4ac ? 0 ? ? b ? 4 ac ? 0 ? ? x1 ? k ? b ? ? ? ? ? x1 ? k ? x2 ? k ? 0 ? ?? ?k x2 ? k ? 2a ? ?( x ? k )(x ? k ) ? 0 2 ? 1 f (k ) ? 0 ? ? y
2

k的根.

y

a?0 ??0 x2 b ? ?k 2a

a?0 ??0 x2 O b ? 0 ?k 2a

k x1 O

x

k x1

x

情形2: 方程根的k分布
结论2? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两个小于 k的根. 2 2 ? ? ? b ? 4 ac ? 0 ? ? b ? 4ac ? 0 ? ? x1 ? k ? ? b ? ? ?( x1 ? k ) ? ( x2 ? k ) ? 0 ? ? ? ?k ? x2 ? k ? ?( x ? k )(x ? k ) ? 0 2 a ? 2 ? 1
y
??0 x1 O ? x2 a?0

? ? f (k ) ? 0

k

x

b ?0 2a

结论3? 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两个根, 且.
2

x1 ? k ? x2

?a ? 0 ?? ? f (k ) ? 0
y
a?0
O

f (k ) ? 0

k
?

x1

x2

x

f (k ) ? 0

结论4? 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)在区间
2

(k1 , k2 )内有且只有一根x1.即k1 ? x1 ? k2

? f (k1 ) ? f (k 2 ) ? 0
y
?

a?0

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

f (k 2 ) ? 0

结论4? 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a〉的根满足 0) ?
2

k1 ? x1 ? x2 ? k 2 ?
y
?

a?0

f ( k1 ) ? 0 x1 x2

f (k 2 ) ? 0
?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?a ? 0 ? ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 ? b ? k1 ? ? ? k2 ? 2a ?

O

k1

k2 x

x??

b 2a

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

小结1:零分布 (1)有两正根 (2)有两负根 (3)一正一负 小结2:k分布 (1)有两个大于k的根 (2)有两个小于k的根 (3)一个大于k,一个小于k (4)有一个根在区间(k1,k2)内 (5)区间(k1,k2)内有两个根 小结3:数形结合思想

1、 若一元二次方程 kx2+(2k-1)x+k-3=0 有一根为零, 则另一根是正根还是负根? 2、当k为何值时,关于x的方程x2+(k-1)x+k+2=0的两 根都在区间(0,3)内? ②一个根在区间 (0,1) 内,另一个根在区间 (1,2) 内; ③有一个根大于1,另一个根小于1; ④两个根都大于2.

数形结合解决二次方程根的分布问题需考虑的 条件: (1)相应函数值的正负; (2)判别式△; (3)对称轴

3.已知二次函数y ? x ? 2(k ? 3) x ? 2k ? 14
2

的图象与x轴的两个交点分别位于(0, 4)的 两侧, 求k的取值范围.

4.已知方程: 4 ? (k ? 1)2 ? k ? 2 ? 0有
x x

一个正根和一个负根 , 求k的范围。


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